No triângulo A B C, o lado A B mede 4 cm, A C mede 2 cm , o ângulo C A B mede 120^circ. Seja P um ponto do segmento C B tal que B A P mede 30^circ. Pede-se:
a) O comprimento do lado BC
b) sen(C) e cos (C)
c) comprimento de AP
Resp: a) 2 raiz7 cm
b) sen(C)=raiz217 e cos (C)=2 raiz77
c) raiz3 cm

Passo 1

O enunciado dá o triângulo ABC com AB=4, AC=2 e ang<= A=120^circ, e um ponto P em CB tal que ang<= BAP=30^circ. Vamos usar lei dos cossenos para achar BC, depois aplicar lei dos cossenos (ou dos senos) para sin C e cos C, e finalmente notar que
ang<= CAP = 120^circ - 30^circ = 90^circ,
de modo que no triângulo retângulo APC podemos obter AP por relações trigonométricas.

Passo 2

Aplicando lei dos cossenos em ABC para encontrar BC:
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2cdot ABcdot ACcdot cos(120^circ)
Como cos(120^circ)=-tfrac12, vem
BC^2 = 4^2 + 2^2 - 2cdot4cdot2cdotl(-tfrac12r) = 16 + 4 + 8 = 28,
logo
BC = raiz28 = 2raiz7

Passo 3

Para cos C usamos novamente lei dos cossenos, agora com lados em torno de C (são BC e AC) e o lado oposto AB:
cos C = BC^2 + AC^2 - AB^22cdot BCcdot AC = 28 + 4 - 162cdot(2raiz7)cdot2 = 168raiz7 = 2raiz7 = 2raiz77
Em seguida
sin C = raiz1 - cos^2 C = raiz1 - 47 = raiz37 = raiz217

Passo 4

Como ang<= CAP=90^circ, o triângulo APC é retângulo em A. Nele,
tan C = APAC Longrightarrow AP = AC;tan C
Usando tan C = sin Ccos C = raiz21/72raiz7/7 = raiz32, obtemos
AP = 2 cdot raiz32 = raiz3

Resposta

a) BC = 2raiz7,cm
b) sin C = raiz217, cos C = 2raiz77
c) AP = raiz3,cm

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