Um triângulo possui vértices nos pontos (2,-1), (4,-3) e (-2,-5). Determine:
b) os comprimentos das medianas desse triângulo.

Passo 1

Temos um triângulo com vértices A(2, −1), B(4, −3) e C(−2, −5). O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos calcular as medianas, que são os segmentos que ligam cada vértice ao ponto médio do lado oposto. Para isso, vamos usar a fórmula do ponto médio e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Vamos calcular a mediana que sai de A e vai ao ponto médio de BC. Primeiro achamos o ponto médio de BC:
Ma=(xB+xC2,yB+yC2)=(4+(-2)2,-3+(-5)2)=(1,,-4)
Em seguida, usamos a fórmula da distância entre A(2, −1) e M_a(1, −4):
ma=raiz(2-1)^2+(-1-(-4))^2=raiz1^2+3^2=raiz10

Passo 3

Agora a mediana que sai de B e vai ao ponto médio de AC. Primeiro o ponto médio de AC:
Mb=(2+(-2)2,-1+(-5)2)=(0,,-3)
Distância entre B(4, −3) e M_b(0, −3):
mb=raiz(4-0)^2+(-3-(-3))^2=raiz4^2+0^2=4

Passo 4

Por fim, a mediana que sai de C e vai ao ponto médio de AB. Primeiro o ponto médio de AB:
Mc=(2+42,-1+(-3)2)=(3,,-2)
Distância entre C(−2, −5) e M_c(3, −2):
mc=raiz(-2-3)^2+(-5-(-2))^2=raiz(-5)^2+(-3)^2=raiz34

Resposta

As três medianas têm comprimentos: ma=raiz10, mb=4 e mc=raiz34.

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