Trilhos de ferrovia que tem um comprimento-padrão de 10 m (comprimento medido a 20^{\circ} \mathrm{C} ) e que são fabricados em aço 1025 devem ser posicionados numa dada região durante o período do ano em que a temperatura média é de 20^{\circ} \mathrm{C}.
(b) Se um espaçamento máximo de 7,5 \mathrm{~mm} for tolerado entre os trilhos, qual é a temperatura ambiente mínima que pode ser atingida sem que possam ocorrer problemas em relação aos trilhos?

Passo 1

O enunciado diz que cada trilho tem comprimento padrão de L_{0}=10\\ \mathrm{m} medido a 20^\circ\mathrm{C} e é de aço 1025. Queremos achar a menor temperatura ambiente T_{\min} na qual a folga no emenda entre dois trilhos (cada um de 10\\ \mathrm{m}) não exceda 7{,}5\\ \mathrm{mm}. O conteúdo necessário é a dilatação térmica linear, usando o coeficiente de dilatação do aço.

Passo 2

A dilatação (ou contração) linear de um corpo de comprimento L_{0} devido a uma variação de temperatura \Delta T é dada por
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,\Delta T
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear. Para o aço 1025 usamos tipicamente
\alpha = 12 \times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 3

Quando a temperatura cai de 20^\circ\mathrm{C} para T, cada trilho encolhe em
\Delta L = \alpha\,L_{0}\,(T - 20).
Como a folga no ponto de emenda resulta do afastamento das duas extremidades, o total da folga é
\Delta_{\text{gap}} = 2\,|\Delta L| = 2\,\alpha\,L_{0}\,(20 - T).

Passo 4

Impondo que essa folga máxima seja 7{,}5\\ \mathrm{mm}=7{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, temos
2\,\alpha\,L_{0}\,(20 - T_{\min}) = 7{,}5\times10^{-3}.
Isolando T_{\min}:
20 - T_{\min} = \frac{7{,}5\times10^{-3}}{2\,\alpha\,L_{0}} \quad\Longrightarrow\quad T_{\min} = 20 - \frac{7{,}5\times10^{-3}}{2\,(12\times10^{-6})\,(10)}.

Passo 5

Calculando o valor numérico:
\frac{7{,}5\times10^{-3}}{2\cdot12\times10^{-6}\cdot10} = \frac{7{,}5\times10^{-3}}{2{,}4\times10^{-4}} \approx 31{,}25.
Portanto
T_{\min} \approx 20 - 31{,}25 = -11{,}25^\circ\mathrm{C}.

Resposta

A temperatura ambiente mínima é aproximadamente -11{,}3^\circ\mathrm{C}.

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