Trinta e cinco por cento dos americanos adultos são eleitores regulares.
Uma amostra aleatória de 250 adultos em uma cidade universitária de médio porte foi pesquisada, e descobriu-se que 110 eram eleitores regulares.
Responda, justificando:
há diferença entre a proporção dada e a encontrada? Se sim, interprete com suas palavras a provável causa dessa diferença.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Ele diz que, no geral, 35% dos adultos nos EUA são eleitores regulares. A gente fez uma pesquisa com 250 adultos numa cidade universitária e achou que 110 deles (ou seja, 44%) são eleitores regulares. A tarefa é descobrir se essa diferença de 35% para 44% é “de verdade” (significativa) ou se pode ser só um acaso de amostragem.
Conteúdo: teste de hipótese para proporção. Vamos precisar de:
  1. definir as hipóteses nula e alternativa;
  2. calcular a proporção amostral;
  3. usar a distribuição normal para proporções (se np0>=5 e n(1-p0)>=5);
  4. achar o valor da estatística z;
  5. comparar com o valor crítico (ou p-valor) e tirar conclusão.

Passo 2

Definindo as hipóteses:
H₀: p = p0 = 0.35 (a proporção real é 35%)
H₁: p neq 0.35 (a proporção real é diferente de 35%)
Esse é um teste bicaudal (porque “diferença” pode ser para mais ou para menos).

Passo 3

Calcular a proporção observada na amostra:
hat p = 110250 = 0.44
Isso significa que, na nossa amostra, 44% são eleitores regulares.

Passo 4

Agora o desvio padrão (erro padrão) da proporção sob H₀ é
SE = raizp0(1 - p0)n = raiz0.35 times 0.65250 approx 0.0301
A estatística z é
z = hat p - p0SE = 0.44 - 0.350.0301 approx 2.99

Passo 5

Pra nível de confiança de 95%, o valor crítico é z0.025approxpm1.96. Como 2.99 > 1.96, a gente rejeita H₀.
Alternativamente, o p-valor para |z|=2.99 é cerca de 0.0028, bem menor que 0.05, então também dá pra rejeitar.

Resposta

Sim, há diferença estatisticamente significativa entre os 35% laranjas e os 44% que achamos na amostra. Muito provavelmente isso aconteceu porque numa cidade universitária há uma galera mais engajada politicamente (ou pode ser só variabilidade de amostra), então a proporção real aí tende a ser maior que a média nacional de 35%.

Exercícios relacionados