Uma vazão de 68 \mathrm{~kg} / \mathrm{min} de água é aquecida de 35^{\circ} \mathrm{C} para 75^{\circ} \mathrm{C} por um óleo de calor específico igual a 1,9 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}. Os fluidos são usados em contracorrente em um trocado de calor de tubo duplo, com o óleo entrando no trocador a 110^{\circ} \mathrm{C} e saindo a 75^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} coeficiente global de transferência de calor é 320 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2}. Calcule a área de troca de calor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o que segue:
  • Vazão mássica de água: \dot{m}_{\text{água}} = 68\\ \mathrm{kg/min}á.
  • Temperatura da água na entrada: T_{c,\text{in}} = 35^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura da água na saída: T_{c,\text{out}} = 75^\circ\mathrm{C}.
  • Calor específico do óleo: c_{p,\text{óleo}} = 1,9\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)}ó.
  • Temperatura do óleo na entrada: T_{h,\text{in}} = 110^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do óleo na saída: T_{h,\text{out}} = 75^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U = 320\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
  • O trocador é em contracorrente (fluídos escoando em sentidos opostos).
O que se pede:
  • Calcular a área de troca de calor A necessária.

Passo 2

Primeiro vamos transformar unidades e calcular a potência térmica (fluxo de calor) requerida para aquecer a água. Conversões e hipótese:
  • Converter \dot{m}_{\text{água}}á para \mathrm{kg/s}:
\dot{m}_{\text{água}} = \frac{68\\ \mathrm{kg}}{1\\ \mathrm{min}} = \frac{68}{60}\\ \mathrm{kg/s} = 1,1333\\ \mathrm{kg/s}.á
  • Aqui assumimos o calor específico da água como c_{p,\text{água}} = 4,186\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} = 4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}á. Essa é a tabela usual para água líquida — é uma suposição padrão quando o problema não dá outro valor.
  • A variação de temperatura da água é
\Delta T_{\text{água}} = T_{c,\text{out}} - T_{c,\text{in}} = 75^\circ\mathrm{C} - 35^\circ\mathrm{C} = 40^\circ\mathrm{C}.á
  • A potência térmica absorvida pela água (igual ao calor transferido Q, em regime estacionário) é dada por
Q = \dot{m}_{\text{água}}\; c_{p,\text{água}}\; \Delta T_{\text{água}}.ááá
Substituindo os números:
Q = 1,1333\\ \mathrm{kg/s} \times 4186\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} \times 40^\circ\mathrm{C}.
Calculemos os termos:
4186\times 40 = 167440\\ \mathrm{J/(kg)}.
Então
Q = 1,1333 \times 167440\\ \mathrm{W} = 189925,3\\ \mathrm{W}.
Portanto, Q \approx 189925{,}3\\ \mathrm{W} (a potência que o óleo deve fornecer).

Passo 3

Com Q conhecido, podemos obter a vazão mássica do óleo usando balanço de energia no óleo:
  • A variação de temperatura do óleo é
\Delta T_{\text{óleo}} = T_{h,\text{in}} - T_{h,\text{out}} = 110^\circ\mathrm{C} - 75^\circ\mathrm{C} = 35^\circ\mathrm{C}.ó
  • Converter c_{p,\text{óleo}}ó para \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}:
c_{p,\text{óleo}} = 1{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\,^\circ C)} = 1900\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}.ó
  • Balanço de energia do óleo (o calor fornecido pelo óleo é Q):
Q = \dot{m}_{\text{óleo}}\; c_{p,\text{óleo}}\; \Delta T_{\text{óleo}}.óóó
Isolando \dot{m}_{\text{óleo}}ó:
\dot{m}_{\text{óleo}} = \frac{Q}{c_{p,\text{óleo}}\; \Delta T_{\text{óleo}}} = \frac{189925{,}3\\ \mathrm{W}}{1900\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)} \times 35^\circ\mathrm{C}}.óóó
Calcule o denominador:
1900 \times 35 = 66500\\ \mathrm{J/(kg)}.
Logo
\dot{m}_{\text{óleo}} = \frac{189925{,}3}{66500}\\ \mathrm{kg/s} = 2{,}8571\\ \mathrm{kg/s}.ó
Se quiser em \mathrm{kg/min}:
\dot{m}_{\text{óleo}} = 2{,}8571 \times 60 = 171{,}4286\\ \mathrm{kg/min}.ó

Passo 4

Agora determinamos as diferenças de temperatura nas extremidades do trocador para usar o método do Log Mean Temperature Difference (LMTD) adequado a contracorrente.
  • Identificamos os fluídos quente e frio:
    • Fluido quente (h): óleo, T_{h,\text{in}} = 110^\circ\mathrm{C}, T_{h,\text{out}} = 75^\circ\mathrm{C}.
    • Fluido frio (c): água, T_{c,\text{in}} = 35^\circ\mathrm{C}, T_{c,\text{out}} = 75^\circ\mathrm{C}.
  • Para contracorrente, as duas diferenças de temperatura nas extremidades são
\Delta T_1 = T_{h,\text{in}} - T_{c,\text{out}} \qquad\text{e}\qquad \Delta T_2 = T_{h,\text{out}} - T_{c,\text{in}}.
  • Substituindo:
\Delta T_1 = 110^\circ\mathrm{C} - 75^\circ\mathrm{C} = 35^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 75^\circ\mathrm{C} - 35^\circ\mathrm{C} = 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Explicando o LMTD e calculando-o:
  • O LMTD (diferença de temperatura logarítmica média) para um trocador com extremos com \Delta T_1 e \Delta T_2 é dado por
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{\Delta T_2 - \Delta T_1}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_2}{\Delta T_1}\right)}.
Isto vem da integração da diferença de temperatura ao longo do comprimento do trocador para escoamentos com variação linear de temperatura nos dois fluídos, e é a média logarítmica apropriada para calor transferido através de uma área.
  • Substituindo \Delta T_1 = 35^\circ\mathrm{C} e \Delta T_2 = 40^\circ\mathrm{C}:
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{40 - 35}{\ln\!\left(\dfrac{40}{35}\right)} = \frac{5}{\ln(1{,}142857)}.
Calcule o logaritmo natural:
\ln(1{,}142857) \approx 0{,}1335314.
Logo
\Delta T_{\text{lm}} = \frac{5}{0{,}1335314} \approx 37{,}447^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Relacionando potência, coeficiente e área e preparando a expressão numérica para a área:
  • A relação fundamental para transferência de calor é
Q = U\; A\; \Delta T_{\text{lm}}.
Isolando A:
A = \frac{Q}{U\; \Delta T_{\text{lm}}}.
  • Substituindo os valores conhecidos (aqui deixo a fração numérica para que o resultado final apareça na seção de resposta):
A = \frac{189925{,}3\\ \mathrm{W}}{320\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)} \times 37{,}447^\circ\mathrm{C}}.

Resposta

15{,}85\\ \mathrm{m^2}

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