Um tronco de uma pirâmide regular tem bases paralelas e quadradas. Cada aresta da base maior mede 20 cm , cada aresta da base menor mede 10 cm e cada aresta lateral mede 13 cm . Calcule desse tronco:
a) a área lateral.
b) a área total.
c) a altura.
d) o volume.

Passo 1

O enunciado descreve um tronco de pirâmide regular com bases quadradas paralelas de arestas maiores 20 cm e menores 10 cm, e arestas laterais de comprimento 13 cm. Vamos calcular: a área lateral, a área total, a altura do tronco e o volume. Usaremos geometria analítica e as fórmulas de tronco de pirâmide reta.

Passo 2

Para encontrar a altura h do tronco, colocamos o quadrado maior centrado na base z=0 e o menor centrado no plano z=h. Um vértice da base maior em (10,10,0) se liga ao vértice correspondente da base menor em (5,5,h). A projeção horizontal desse par de vértices tem distância
\sqrt{(-5)^2+(-5)^2} = 5\sqrt{2}.
Pelo teorema de Pitágoras no espaço:
(5\sqrt{2})^2 + h^2 = 13^2 \quad\Longrightarrow\quad 50 + h^2 = 169 \quad\Longrightarrow\quad h = \sqrt{119}\text{ cm}.

Passo 3

O “altura lateral” ou escama l de cada face trapezoidal é a distância entre os pontos médios de arestas correspondentes. Num dos lados temos o ponto médio da aresta da base maior em (0,10,0) e o da base menor em (0,5,h). A projeção nesse plano dá
l = \sqrt{(5)^2 + h^2} = \sqrt{25 + 119} = \sqrt{144} = 12\text{ cm}.

Passo 4

A área lateral A_L de um tronco de pirâmide reta é
A_L = \frac{P_{\text{base maior}} + P_{\text{base menor}}}{2}\;l,
onde P_{\text{base maior}}=4\cdot20=80 cm e P_{\text{base menor}}=4\cdot10=40 cm. Logo
A_L = \frac{80 + 40}{2}\times 12 = 60\times 12 = 720\text{ cm}^2.

Passo 5

A área total A_T soma a área lateral e as áreas das duas bases:
A_T = A_L + A_{\text{base maior}} + A_{\text{base menor}} = 720 + 20^2 + 10^2 = 720 + 400 + 100 = 1220\text{ cm}^2.

Passo 6

O volume V de um tronco de pirâmide reta é
V = \frac{h}{3}\Bigl(A_{\text{base maior}} + A_{\text{base menor}} + \sqrt{A_{\text{base maior}}\;A_{\text{base menor}}}\Bigr).
Com A_{\text{base maior}}=400, A_{\text{base menor}}=100 e h=\sqrt{119}, temos
V = \frac{\sqrt{119}}{3}\bigl(400 + 100 + 200\bigr) = \frac{\sqrt{119}}{3}\times 700 = \frac{700\sqrt{119}}{3}\text{ cm}^3.

Resposta

a) 720\text{ cm}^2
b) 1220\text{ cm}^2
c) \sqrt{119}\text{ cm}
d) \displaystyle \frac{700\sqrt{119}}{3}\text{ cm}^3

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