O volume de uma pirâmide quadrangular regular é 72 \mathrm{~cm}^{3}, e a altura dessa pirâmide tem a mesma medida de cada aresta da base. Calcule dessa pirâmide:
a) a medida de cada aresta lateral.
b) a área total.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede a e cuja altura h é igual a essa aresta ( h=a). O volume é dado por
V = \frac13 \,B\,h,
onde B é a área da base. Como a base é um quadrado de lado a, temos B=a^2. Vamos usar essa fórmula para achar a, depois aplicar o Teorema de Pitágoras para obter a aresta lateral e, por fim, calcular a área total somando a base e as faces laterais.

Passo 2

Usando
V = \frac13\,a^2\,h
e sabendo que h=a e V=72, substituímos:
72 = \frac13\,a^2\,(a) \quad\Longrightarrow\quad 72 = \frac13\,a^3 \quad\Longrightarrow\quad a^3 = 216 \quad\Longrightarrow\quad a = 6\\ (\text{cm}).

Passo 3

Cada aresta lateral l vai do vértice da base até o vértice da pirâmide. A projeção horizontal desse segmento do centro da base até um vértice mede metade da diagonal do quadrado, ou seja
d = \frac{a\sqrt2}{2} = \frac{6\sqrt2}{2} = 3\sqrt2.
Pelo Teorema de Pitágoras,
l = \sqrt{h^2 + d^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt2)^2} = \sqrt{36 + 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt6\\ (\text{cm}).

Passo 4

Para calcular a área lateral precisamos do apótema s de cada face triangular, que é a altura do triângulo cujo pé cai no meio da aresta da base. Esse pé fica a a/2=3 cm do centro, então
s = \sqrt{h^2 + \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt5\\ (\text{cm}).
A área de uma face lateral é
A_{\text{tri}} = \frac12 \,a\,s = \frac12\cdot 6\cdot 3\sqrt5 = 9\sqrt5,
e como há 4 faces, a área lateral total é
A_{\text{lat}} = 4\cdot 9\sqrt5 = 36\sqrt5\\ (\text{cm}^2).

Passo 5

A área total da pirâmide é a soma da área da base com a área lateral:
A_{\text{total}} = a^2 + A_{\text{lat}} = 36 + 36\sqrt5\\ (\text{cm}^2).

Resposta

a) 3\sqrt6 cm
b) 36 + 36\sqrt5 cm ^2

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