Um tubo de aço inoxidável ( k = 14,9 W / m K), com diâmetro interno e externo iguais a D1=2,0 cm e D2=2,2 cm, respectivamente, é usado para transportar água, com temperatura média de Tm, a=90^circ C, com uma vazão mássica de dotma=0,12 kg / s. Um escoamento de ar, com temperatura Tinfty=22^circ C e velocidade V=40 m / s, é usado para resfriar o tubo. Considerando que a superfície interna do tubo está sujeita à condição de transferência de calor por convecção, com coeficiente convectivo hi=8000 W / m^2 K, determine a temperatura da superfície externa do tubo, Ts, e.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo de aço inoxidável que transporta água quente e está sendo resfriado por um fluxo de ar. Queremos descobrir qual é a temperatura na superfície externa do tubo, ou seja, $ T_{s, e} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção. Vamos analisar como o calor se move da água quente através das paredes do tubo até o ar frio ao redor. Vamos resolver isso passo a passo para facilitar a compreensão!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as camadas pelas quais o calor está passando:
  1. Convecção interna: O calor da água está sendo transferido para a superfície interna do tubo.
  2. Condução através da parede do tubo: O calor passa pela parede de aço inoxidável do tubo.
  3. Convecção externa: O calor é transferido da superfície externa do tubo para o ar que está passando por ele.
Para encontrar a temperatura na superfície externa ($ T_{s, e} $), precisamos igualar o calor que sai da água ao calor que é removido pelo ar.

Passo 3

Vamos começar calculando o fluxo de calor convectivo na parte interna do tubo. A fórmula para o fluxo de calor por convecção é:
q''i = hi cdot (Tm, a - Ts, i)
Onde:
  • $ q’’_i $ é o fluxo de calor por unidade de área na parte interna.
  • $ h_i $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção na parte interna ( q''i ).
  • $ T_{m, a} $ é a temperatura média da água ( hi ).
  • $ T_{s, i} $ é a temperatura da superfície interna do tubo, que ainda precisamos encontrar.
Mas primeiro, precisamos calcular o fluxo de calor total que está saindo da água. Para isso, usamos a equação de energia para fluxo de massa:
8000 , W/m^2K
Onde:
  • $ \dot{Q} $ é o fluxo de calor total.
  • $ \dot{m}_a $ é a vazão mássica da água ( Tm, a ).
  • $ c_p $ é a capacidade térmica específica da água ( 90^circ C).
Vamos calcular $ \dot{Q} $:
Ts, i

Passo 4

Agora, analisamos a condução através da parede do tubo. A fórmula para condução em uma parede cilíndrica é:
dotQ = 2 pi k L (Ts, i - Ts, e)ln(D2/D1)
Onde:
  • $ k $ é a condutividade térmica do aço inoxidável ( k ).
  • $ L $ é o comprimento do tubo (não fornecido, mas vamos assumir que o comprimento se cancela nas equações).
  • $ D_1 $ e $ D_2 $ são os diâmetros internos e externos do tubo ( 14,9 , W/mK e L respectivamente).
  • $ T_{s, i} $ e $ T_{s, e} $ são as temperaturas das superfícies interna e externa.
Como o comprimento $ L $ não está especificado, podemos trabalhar com a taxa de transferência de calor por unidade de área.

Passo 5

Finalmente, temos a convecção na parte externa do tubo. A fórmula para o fluxo de calor por convecção externa é:
q''o = ho cdot (Ts, e - Tinfty)
Onde:
  • $ q’’_o $ é o fluxo de calor por unidade de área na parte externa.
  • $ h_o $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção na parte externa (vamos precisar calcular).
  • $ T_\infty $ é a temperatura do ar ( q''o ).
Para encontrar $ h_o $, usamos correlações de transferência de calor para fluxo de ar sobre superfícies cilíndricas. Uma aproximação comum para $ h_o $ em ar é por meio do número de Nusselt:
Onde:
  • $ Re $ é o número de Reynolds.
  • $ Pr $ é o número de Prandtl.
Vamos calcular $ Re $ e $ Pr $ para encontrar $ Nu $, e então $ h_o $.

Passo 6

Calculando o número de Reynolds ($ Re $):
Re
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade do ar ( Re = rho V Dmu a rho ).
  • $ V $ é a velocidade do ar ( 1,2 , kg/m^3).
  • $ D $ é o diâmetro externo do tubo ( 22^circ C).
  • $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do ar ( V ).
Substituindo os valores:
40 , m/s
Calculando o número de Prandtl ($ Pr $):
D
Onde:
  • $ c_p $ é a capacidade térmica específica do ar ( 0,022 , m).
  • $ k_{ar} $ é a condutividade térmica do ar ( mu ).
Substituindo os valores:
1,85 times 10^-5 , kg/ms

Passo 7

Agora, vamos calcular o número de Nusselt ($ Nu $) usando $ Re $ e $ Pr $:
Nu
Calculando passo a passo:
  1. $ Re^{1/2} = \sqrt{57000} \approx 238.7 $
  2. $ Pr^{1/3} = 0,75^{1/3} \approx 0,908 $
  3. $ \left(\frac{0,4}{0,75}\right)^{2/3} \approx 0,447 $
  4. $ \left[1 + 0,447\right]^{1/4} \approx 1,094 $
  5. $ \left(\frac{57000}{282000}\right)^{5/8} \approx 0,283 $
  6. $ \left(1 + 0,283\right)^{4/5} \approx 1,224 $
Substituindo:
Re
Agora, calculamos $ h_o $:
Pr

Passo 8

Agora que temos $ h_o $, podemos relacionar os fluxos de calor:
ho
Ou seja:
q''i = q''cond = q''o
Onde $ D_l $ é a espessura da parede:
hi cdot (Tm, a - Ts, i) = kDl cdot (Ts, i - Ts, e) = ho cdot (Ts, e - Tinfty)
Vamos reorganizar para resolver $ T_{s, e} $:
Primeiro, igualamos os fluxos de calor:
Dl
Primeiro, calculamos $ \frac{14,9}{0,001} = 14900 $.
Então:
Dl = D2 - D12 = 0,022 - 0,022 = 0,001 , m
Para simplificar, vamos considerar que o fluxo de calor é o mesmo através das três etapas:
Assumindo que A_i ≈ A_o e L cancela, podemos resolver a equação para $ T_{s, e} $. No entanto, para simplificar, vamos usar a relação onde os fluxos de calor são iguais e resolver para $ T_{s, e} $:
Ts, e
E:
hi (90 - Ts, i) = 14,90,001 (Ts, i - Ts, e) = 139,2 (Ts, e - 22)
Agora, substituímos $ h_o = 139,2 , W/m^2.K $:
14,90,001 = 14900

Passo 9

Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ T_{s, e} $:
Primeira equação:
Ts, e
Segunda equação:
8000 (90 - Ts, i) = 14900 (Ts, i - Ts, e)
Primeiro, resolvemos a primeira equação para $ T_{s, i} $:
14900 (Ts, i - Ts, e) = 139,2 (Ts, e - 22)
Ts, i
8000 cdot 90 - 8000 Ts, i = 14900 Ts, i - 14900 Ts, e
720000 - 8000 Ts, i = 14900 Ts, i - 14900 Ts, e
Agora, substituímos $ T_{s, i} $ na segunda equação:
720000 + 14900 Ts, e = 22900 Ts, i
Simplificando:
Ts, i = 720000 + 14900 Ts, e22900
Ts, i
14900 ( 720000 + 14900 Ts, e22900 - Ts, e ) = 139,2 (Ts, e - 22)
14900 ( 72000022900 + 14900 Ts, e22900 - Ts, e ) = 139,2 (Ts, e - 22)
14900 (31.415 + 0,65 Ts, e - Ts, e ) = 139,2 Ts, e - 3062,4
14900 (31.415 - 0,35 Ts, e) ) = 139,2 Ts, e - 3062,4
468283,5 - 5215 Ts, e = 139,2 Ts, e - 3062,4

Resposta

A temperatura da superfície externa do tubo é aproximadamente $ 88,1^\circ C $.

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