Um tubo de aço inoxidável (
), com diâmetro interno e externo iguais a
e
, respectivamente, é usado para transportar água, com temperatura média de
, com uma vazão mássica de
. Um escoamento de ar, com temperatura
e velocidade
, é usado para resfriar o tubo. Considerando que a superfície interna do tubo está sujeita à condição de transferência de calor por convecção, com coeficiente convectivo
, determine a temperatura da superfície externa do tubo,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo de aço inoxidável que transporta água quente e está sendo resfriado por um fluxo de ar. Queremos descobrir qual é a temperatura na superfície externa do tubo, ou seja, $ T_{s, e} $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor por condução e convecção. Vamos analisar como o calor se move da água quente através das paredes do tubo até o ar frio ao redor. Vamos resolver isso passo a passo para facilitar a compreensão!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as camadas pelas quais o calor está passando:
- Convecção interna: O calor da água está sendo transferido para a superfície interna do tubo.
- Condução através da parede do tubo: O calor passa pela parede de aço inoxidável do tubo.
- Convecção externa: O calor é transferido da superfície externa do tubo para o ar que está passando por ele.
Para encontrar a temperatura na superfície externa ($ T_{s, e} $), precisamos igualar o calor que sai da água ao calor que é removido pelo ar.
Passo 3
Vamos começar calculando o fluxo de calor convectivo na parte interna do tubo. A fórmula para o fluxo de calor por convecção é:
Onde:
- $ q’’_i $ é o fluxo de calor por unidade de área na parte interna.
- $ h_i $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção na parte interna (
). - $ T_{m, a} $ é a temperatura média da água (
). - $ T_{s, i} $ é a temperatura da superfície interna do tubo, que ainda precisamos encontrar.
Mas primeiro, precisamos calcular o fluxo de calor total que está saindo da água. Para isso, usamos a equação de energia para fluxo de massa:
Onde:
- $ \dot{Q} $ é o fluxo de calor total.
- $ \dot{m}_a $ é a vazão mássica da água (
). - $ c_p $ é a capacidade térmica específica da água (
).
Vamos calcular $ \dot{Q} $:
Passo 4
Agora, analisamos a condução através da parede do tubo. A fórmula para condução em uma parede cilíndrica é:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica do aço inoxidável (
). - $ L $ é o comprimento do tubo (não fornecido, mas vamos assumir que o comprimento se cancela nas equações).
- $ D_1 $ e $ D_2 $ são os diâmetros internos e externos do tubo (
e respectivamente). - $ T_{s, i} $ e $ T_{s, e} $ são as temperaturas das superfícies interna e externa.
Como o comprimento $ L $ não está especificado, podemos trabalhar com a taxa de transferência de calor por unidade de área.
Passo 5
Finalmente, temos a convecção na parte externa do tubo. A fórmula para o fluxo de calor por convecção externa é:
Onde:
- $ q’’_o $ é o fluxo de calor por unidade de área na parte externa.
- $ h_o $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção na parte externa (vamos precisar calcular).
- $ T_\infty $ é a temperatura do ar (
).
Para encontrar $ h_o $, usamos correlações de transferência de calor para fluxo de ar sobre superfícies cilíndricas. Uma aproximação comum para $ h_o $ em ar é por meio do número de Nusselt:
Onde:
- $ Re $ é o número de Reynolds.
- $ Pr $ é o número de Prandtl.
Vamos calcular $ Re $ e $ Pr $ para encontrar $ Nu $, e então $ h_o $.
Passo 6
Calculando o número de Reynolds ($ Re $):
Onde:
- $ \rho $ é a densidade do ar (
a ). - $ V $ é a velocidade do ar (
). - $ D $ é o diâmetro externo do tubo (
). - $ \mu $ é a viscosidade dinâmica do ar (
).
Substituindo os valores:
Calculando o número de Prandtl ($ Pr $):
Onde:
- $ c_p $ é a capacidade térmica específica do ar (
). - $ k_{ar} $ é a condutividade térmica do ar (
).
Substituindo os valores:
Passo 7
Agora, vamos calcular o número de Nusselt ($ Nu $) usando $ Re $ e $ Pr $:
Calculando passo a passo:
- $ Re^{1/2} = \sqrt{57000} \approx 238.7 $
- $ Pr^{1/3} = 0,75^{1/3} \approx 0,908 $
- $ \left(\frac{0,4}{0,75}\right)^{2/3} \approx 0,447 $
- $ \left[1 + 0,447\right]^{1/4} \approx 1,094 $
- $ \left(\frac{57000}{282000}\right)^{5/8} \approx 0,283 $
- $ \left(1 + 0,283\right)^{4/5} \approx 1,224 $
Substituindo:
Agora, calculamos $ h_o $:
Passo 8
Agora que temos $ h_o $, podemos relacionar os fluxos de calor:
Ou seja:
Onde $ D_l $ é a espessura da parede:
Vamos reorganizar para resolver $ T_{s, e} $:
Primeiro, igualamos os fluxos de calor:
Primeiro, calculamos $ \frac{14,9}{0,001} = 14900 $.
Então:
Para simplificar, vamos considerar que o fluxo de calor é o mesmo através das três etapas:
Assumindo que A_i ≈ A_o e L cancela, podemos resolver a equação para $ T_{s, e} $. No entanto, para simplificar, vamos usar a relação onde os fluxos de calor são iguais e resolver para $ T_{s, e} $:
E:
Agora, substituímos $ h_o = 139,2 , W/m^2.K $:
Passo 9
Vamos resolver o sistema de equações para encontrar $ T_{s, e} $:
Primeira equação:
Segunda equação:
Primeiro, resolvemos a primeira equação para $ T_{s, i} $:
Agora, substituímos $ T_{s, i} $ na segunda equação:
Simplificando:
Resposta
A temperatura da superfície externa do tubo é aproximadamente $ 88,1^\circ C $.