Um tubo de ar horizontal tem uma redução na sua area de seção transversal de 0,75 \mathrm{ft}^{2} para 0,2 \mathrm{ft}^{2}.
Assumindo que não há perdas, qual será a diferença de pressão quando escoa 1,5 \mathrm{lb} / \mathrm{s} de ar? Utilize rho =0,2 \mathrm{lb} / \mathrm{ft}^{3}.
Avalie o efeito do escoamento de 0,5 a 2 lb/s do ar, sobre avariação da pressão entre A e B, elabore um gráfico escoamento vs diferença de pressão.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo horizontal sem perdas que se reduz da área de seção transversal A_A=0,75\\ \mathrm{ft}^2 para A_B=0,20\\ \mathrm{ft}^2. Queremos, para fluxo mássico de ar \dot{m}, densidade constante \rho=0,2\\ \mathrm{lb/ft}^3, calcular a diferença de pressão \Delta P=P_A-P_B usando as equações de continuidade e Bernoulli, e depois avaliar \Delta P para \dot{m} variando de 0{,}5 a 2{,}0\\ \mathrm{lb/s} e montar o gráfico \dot{m} vs.\ \Delta P.

Passo 2

Usando continuidade, \dot m=\rho A V, obtemos as velocidades nos trechos A e B:
V_A = \frac{\dot m}{\rho A_A}, \quad V_B = \frac{\dot m}{\rho A_B}.

Passo 3

Pela equação de Bernoulli (sem perdas e mesmo nível):
P_A + \tfrac12\,\rho\,V_A^2 \;=\; P_B + \tfrac12\,\rho\,V_B^2 \quad\Longrightarrow\quad \Delta P = P_A - P_B = \tfrac12\,\rho\,(V_B^2 - V_A^2).

Passo 4

Para \dot m=1{,}5\\ \mathrm{lb/s}:
V_A = \frac{1{,}5}{0{,}2\times0{,}75}=10{,}0\\ \mathrm{ft/s}, \quad V_B = \frac{1{,}5}{0{,}2\times0{,}20}=37{,}5\\ \mathrm{ft/s},
\Delta P = 0{,}5\times0{,}2\,(37{,}5^2 - 10^2) =0{,}1\,(1406{,}25 - 100) =130{,}625\\ \mathrm{lb/ft}^2\approx130{,}6\\ \mathrm{lb/ft}^2.

Passo 5

Montando a expressão geral, note que
V_B^2 - V_A^2 =\Bigl(\frac{\dot m}{\rho A_B}\Bigr)^{2} -\Bigl(\frac{\dot m}{\rho A_A}\Bigr)^{2} =\frac{\dot m^{2}}{\rho^{2}}\Bigl(\frac1{A_B^{2}}-\frac1{A_A^{2}}\Bigr),
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\Delta P =\tfrac12\,\rho\, \frac{\dot m^{2}}{\rho^{2}} \Bigl(\frac1{A_B^{2}}-\frac1{A_A^{2}}\Bigr) =\frac12\,\frac{\dot m^{2}}{\rho} \Bigl(\frac1{A_B^{2}}-\frac1{A_A^{2}}\Bigr) =K\,\dot m^{2},
com
K=\frac12\,\frac{1/A_B^{2}-1/A_A^{2}}{\rho} =\frac12\,\frac{1/0{,}04 - 1/0{,}5625}{0{,}2} \approx58{,}06\\ (\mathrm{ft}^2\!\cdot\mathrm{s}^2/\mathrm{lb}).

Passo 6

Para \dot{m} variando de 0{,}5 a 2{,}0\\ \mathrm{lb/s}, temos
\Delta P(\dot{m})=58{,}06\\ \dot{m}^{2}
e a tabela aproximada é
\dot{m} (lb/s) \Delta P (lb/ft ^2)
0{,}5 14{,}5
1{,}0 58{,}1
1{,}5 130{,}6
2{,}0 232{,}2
O gráfico de \Delta P vs.\ \dot{m} é uma parábola que parte da origem e cresce rapidamente, pois \Delta P\propto\dot{m}^2.

Resposta

Para \dot m=1{,}5\\ \mathrm{lb/s}, a diferença de pressão é
\Delta P\approx130{,}6\\ \mathrm{lb/ft}^2\\ (\approx0{,}91\\ \mathrm{psi}).
A variação com a vazão segue a lei quadrática
\Delta P=58{,}06\,\dot m^{2},
conforme tabela e gráfico do Passo 6.

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