Um tubo liso horizontal de 4 cm de diâmetro transporta 0,004 m^3 / s de água a 20^circ C. Usando um perfil exponencial determine a Posição radial em que u(r)=U media .

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um tubo liso horizontal de diâmetro ( ), com vazão de água de a . Precisamos achar o raio (a partir do centro) onde a velocidade local é igual à velocidade média é. O conteúdo é mecânica dos fluidos: perfil de velocidade em escoamento turbulento, usando um perfil “exponencial”. Para resolver vamos:
  1. calcular é,
  2. escrever o perfil exponencial,
  3. relacionar é com (velocidade no centro) via uma integral,
  4. achar ,
  5. impor é no perfil e isolar .

Passo 2

Primeiro, a área da seção do tubo é
A = pi D^24 = pi,(0,04)^24 = 0,0012566;m^2
Então a velocidade média é
Urm média = QA = 0,0040,0012566 approx 3,183;m/s é

Passo 3

Agora o perfil exponencial que usamos (forma comum em escoamento turbulento aproximado) é
u(r) ;=; Umax,exp!l(-alpha,rRr)
Aqui tomamos u(r) = Umax,exp!l(-2,rRr) (valor típico). Então

Passo 4

Para relacionar Urm média = 1AintegralA u,dA = 2R^2integral0^R u(r),r,dr é e Urm média = 2UmaxR^2 integral0^R e^-2r/R,r,dr usamos a definição
integral0^R e^-2r/Rr,dr = R^2integral0^1 e^-2xx,dx = R^22^2l[1-(1+2)e^-2r] é
Substituindo Urm média = 2UmaxR^2cdotR^24l[1-3e^-2r] = Umax2l[1-3e^-2r] :
1-3e^-2 = 1 - 3cdot0,1353 = 1 - 0,4059 = 0,5941, é
Fazendo a integral (troca 1-3e^-22 = 0,2970, Urm média = 0,2970,Umax ;Longrightarrow; Umax = Urm média0,2970 approx 3,1830,2970 approx 10,72;m/s ) dá
Logo
é
Numericamente, , então
éé

Passo 5

Finalmente, impomos Urm média = Umax,exp!l(-2rRr) Longrightarrow exp!l(-2rRr) = Urm médiaUmax = 0,2970 é no perfil:
-2,rR = ln(0,2970) approx -1,213, rR = 1,2132 = 0,6065, éé
Tomando ln dos dois lados:
r = 0,6065,R = 0,6065cdot0,02 approx 0,01213;m = 1,213;cm

Resposta

A posição radial onde boxedr approx 1,21;cm (a partir do centro do tubo) é é

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