Numa turma de estatística, 70 \% dos estudantes estão fazendo a disciplina pela primeira vez e 30 \% são repetentes. Além disso, sabe-se que a chance de reprovar na disciplina é de 30 \% entre os que estão fazendo o curso pela primeira vez e 16 \% entre os repetentes. Ao final do curso, um estudante é sorteado aleatoriamente na turma e este estudante foi reprovado. Determine a probabilidade do estudante sorteada ter cursado a disciplina pela primeira vez?
(resposta com duas casas decimais)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos uma turma em que uma fração faz a disciplina pela primeira vez e outra fração é repetente. Sabemos também as probabilidades de reprovação em cada caso. Queremos a probabilidade do aluno ser “de primeira vez” dado que ele foi reprovado. O conteúdo essencial aqui é o Teorema de Bayes, apoiado na lei da probabilidade total.

Passo 2

Definimos os eventos:
A: aluno cursando pela primeira vez.
B: aluno repetente.
R: aluno reprovado.
Pelas informações do enunciado,
P(A)=0,7,\quad P(B)=0,3,
P(R\mid A)=0,3,\quad P(R\mid B)=0,16.

Passo 3

Usamos a lei da probabilidade total para achar P(R):
P(R)=P(R\mid A)\,P(A)+P(R\mid B)\,P(B)
P(R)=0,3\times0,7+0,16\times0,3=0,21+0,048=0,258.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Bayes para obter P(A\mid R):
P(A\mid R) =\frac{P(R\mid A)\,P(A)}{P(R)} =\frac{0,3\times0,7}{0,258} =\frac{0,21}{0,258}\approx0,81.

Resposta

A probabilidade pedida é aproximadamente 0,81.

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