(UF-PB) Na inauguração da praça,foram realizadas várias atividades recreativas e culturais. Dentre elas, no anfiteatro, um professor de Matemática proferiu uma palestra para vários alunos do ensino médio e propôs o seguinte problema:Encontrar valores para ae
, de modo que o polinômio
seja divisível por
. Alguns alunos resolveram corretamente esse problema e, além disso, constataram que
e
satisfazem a relação:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um polinômio
e queremos encontrar os valores de
e
de forma que esse polinômio seja divisível por
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre divisão de polinômios e encontrar as raízes do polinômio divisor.
Passo 2
Primeiro, para garantir que
seja divisível por
, as raízes de
devem ser também raízes de
. Isso significa que, se substituirmos as raízes de
em
, o resultado deve ser zero.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes de
. Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Agora, substituímos cada uma dessas raízes no polinômio
e igualamos a zero:
Para
:
Simplificando, temos:
Para
:
Simplificando, obtemos:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
Agora, substituímos
na Equação 2:
Resposta
Os valores encontrados são
e
. Portanto, a relação correta entre
e
é
.