(UF-PB) Na inauguração da praça,foram realizadas várias atividades recreativas e culturais. Dentre elas, no anfiteatro, um professor de Matemática proferiu uma palestra para vários alunos do ensino médio e propôs o seguinte problema:Encontrar valores para ae b, de modo que o polinômio p(x)=a x^3+x^2+b x+4 seja divisível por q(x)=x^2-x-2. Alguns alunos resolveram corretamente esse problema e, além disso, constataram que a e b satisfazem a relação:
a) a^2+b^2=73
b) a^2-b^2=33
c) a+b=6
d) a^2+b=15
e) a-b=12

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um polinômio p(x) = a x^3 + x^2 + b x + 4 e queremos encontrar os valores de a e b de forma que esse polinômio seja divisível por q(x) = x^2 - x - 2 . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de álgebra sobre divisão de polinômios e encontrar as raízes do polinômio divisor.

Passo 2

Primeiro, para garantir que p(x) seja divisível por q(x) , as raízes de q(x) devem ser também raízes de p(x) . Isso significa que, se substituirmos as raízes de q(x) em p(x) , o resultado deve ser zero.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes de q(x) = x^2 - x - 2 . Para isso, resolvemos a equação quadrática:
x^2 - x - 2 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Então, as raízes são x = 2 e x = -1 .

Passo 4

Agora, substituímos cada uma dessas raízes no polinômio p(x) e igualamos a zero:
Para x = 2 :
p(2) = a(2)^3 + (2)^2 + b(2) + 4 = 8a + 4 + 2b + 4 = 8a + 2b + 8 = 0
Simplificando, temos:
8a + 2b = -8 Rightarrow 4a + b = -4 (Equação 1) çã
Para x = -1 :
p(-1) = a(-1)^3 + (-1)^2 + b(-1) + 4 = -a + 1 - b + 4 = -a - b + 5 = 0
Simplificando, obtemos:
-a - b = -5 Rightarrow a + b = 5 (Equação 2) çã

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
4a + b = -4 (Equação 1) a + b = 5 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema. Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1:
(4a + b) - (a + b) = -4 - 5 3a = -9 a = -3
Agora, substituímos a = -3 na Equação 2:
-3 + b = 5 b = 8

Resposta

Os valores encontrados são a = -3 e b = 8 . Portanto, a relação correta entre a e b é a + b = 5 .

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