(U. F. Ouro Preto-MG) Sejam os polinômios p(x)= =(a+b) x^4-5 e q(x)=-2 x^4+(a+c) x^2+b+c, em que a, b, c são números reais. Suponha que p(x) e q(x) sejam iguais para todo x in R. Então, a+b+ + c vale:
a) -7
b) -52
c) -2
d) -72

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá dois polinômios, p(x) = (a + b)x^4 - 5 e q(x) = -2x^4 + (a + c)x^2 + b + c . A gente sabe que esses dois polinômios são iguais para todo x real. Nosso objetivo é descobrir o valor de a + b + c . Para resolver isso, vamos usar o conceito de igualdade de polinômios, que diz que se dois polinômios são iguais para todo x , então seus coeficientes correspondentes devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos comparar os coeficientes dos termos de mesma potência nos dois polinômios. Começando pelo termo de x^4 :
No p(x) , o coeficiente de x^4 é a + b .
No q(x) , o coeficiente de x^4 é -2 .
Então, temos a equação:
a + b = -2

Passo 3

Agora, vamos olhar para o termo de x^2 :
No p(x) , não há termo de x^2 , o que significa que o coeficiente é 0 .
No q(x) , o coeficiente de x^2 é a + c .
Portanto, a segunda equação é:
a + c = 0

Passo 4

Por fim, vamos comparar os termos constantes (sem x ):
No p(x) , o termo constante é -5 .
No q(x) , o termo constante é b + c .
Assim, a terceira equação fica:
b + c = -5

Passo 5

Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
  1. a + b = -2
  2. a + c = 0
  3. b + c = -5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 6

Da segunda equação a + c = 0 , podemos isolar a :
a = -c

Passo 7

Substituindo a = -c na primeira equação a + b = -2 :
-c + b = -2
b - c = -2

Passo 8

Agora, temos duas equações com b e c :
  1. b - c = -2
  2. b + c = -5
Vamos somar essas duas equações para eliminar c :
(b - c) + (b + c) = -2 + (-5)
2b = -7
b = -72

Passo 9

Com b = -72 , vamos encontrar c usando a segunda equação b + c = -5 :
-72 + c = -5
c = -5 + 72
c = -102 + 72
c = -32

Passo 10

Agora, usando a = -c :
a = -(-32)
a = 32

Passo 11

Finalmente, vamos somar a + b + c :
a + b + c = 32 + (-72) + (-32)
a + b + c = 3 - 7 - 32
a + b + c = -72

Resposta

O valor de a + b + c é -72 . Alternativa d)

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