(U.E. Londrina -PR) A identidade 1x(x^2-1)=Ax+ +Bx-1+Cx+1 é válida para todo x real exceto para x=0, x=-1 e x=1. Nessas condições, os valores de A, B e C, nessa ordem, são:
a) -1, 12, 12
b) 0,0,1
c) -1, 12,-12
d) 1,-12,-12
e) 0, 12, 12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma identidade fracionária que precisa ser descomposta. A matéria envolvida é a fração parcial, que é muito útil pra resolver integrais e equações mais complicadas. Vamos precisar entender como quebrar uma fração complicada em frações mais simples. No caso, a gente tem:
1x(x^2-1) = Ax + Bx-1 + Cx+1
Nosso objetivo é descobrir os valores de A , B e C .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Para fazer isso, vamos multiplicar ambos os lados da igualdade pelo denominador comum, que é x(x^2-1) . Isso vai nos livrar dos denominadores e facilitar a resolução:
1 = A(x^2-1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)

Passo 3

Agora, a ideia é escolher valores de x que simplifiquem a equação, facilitando a resolução para A , B e C . Vamos escolher valores que zeroem alguns termos:
  1. Escolha x = 0 :
1 = A(0^2-1) + Bcdot0(0+1) + Ccdot0(0-1) 1 = A(-1) A = -1
  1. Escolha x = 1 :
1 = A(1^2-1) + Bcdot1(1+1) + Ccdot1(1-1) 1 = A(0) + B(2) + C(0) 1 = 2B B = 12
  1. Escolha x = -1 :
1 = A((-1)^2-1) + Bcdot(-1)(-1+1) + Ccdot(-1)(-1-1) 1 = A(1-1) + Bcdot(-1)(0) + Ccdot(-1)(-2) 1 = 0 + 0 + 2C 2C = 1 C = 12

Passo 4

Pronto! Com isso, descobrimos os valores de A , B e C :
  • A = -1
  • B = 12
  • C = 12

Resposta

Os valores de A , B e C são -1 , 12 e 12 , respectivamente.

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