Se u(x, y) e v(x, y) são funções com derivadas parciais contínuas até a 2^a ordem e satisfazem às equações ux=vy e uy=-vx, mostre que u e v atendem à equação de Laplace.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções e com derivadas parciais de até segunda ordem contínuas, que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Queremos mostrar que tanto quanto são funções harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace em :
Vamos usar a linearidade das derivadas e o teorema de igualdade de derivadas mistas (teorema de Schwarz).

Passo 2

Derivamos em sequência para u. Primeiro, aplicamos partial/partial x em ux = vy:
uxx = vyx,
Em seguida, aplicamos partial/partial y em uy = -vx:
uyy = -,vxy,
Somando essas duas expressões, obtemos
uxx + uyy = vyx - vxy
Pelo teorema de Schwarz, as derivadas mistas de v são iguais ( vyx=vxy), logo
uxx + uyy = 0

Passo 3

Agora para v. Aplicamos partial/partial x em uy = -vx:
uyx = -,vxx Longrightarrow vxx = -,uyx
Em seguida, aplicamos partial/partial y em ux = vy:
uxy = vyy Longrightarrow vyy = uxy
Somando, vem
vxx + vyy = -,uyx + uxy = 0
pois uxy=uyx pelo teorema de Schwarz.

Passo 4

Concluímos que tanto quanto satisfazem a equação de Laplace em :

Resposta

Mostrou-se que
uxx + uyy = 0 e vxx + vyy = 0,
isto é, u e v são harmônicas.

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