Se
e
são funções com derivadas parciais contínuas até a
ordem e satisfazem às equações
e
, mostre que
e
atendem à equação de Laplace.
Passo 1
O enunciado diz que temos duas funções
e
com derivadas parciais de até segunda ordem contínuas, que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Queremos mostrar que tanto
quanto
são funções harmônicas, ou seja, satisfazem a equação de Laplace em :
Vamos usar a linearidade das derivadas e o teorema de igualdade de derivadas mistas (teorema de Schwarz).
Passo 2
Derivamos em sequência para
. Primeiro, aplicamos
em
:
Em seguida, aplicamos
em
:
Somando essas duas expressões, obtemos
Pelo teorema de Schwarz, as derivadas mistas de
são iguais (
), logo
Passo 3
Agora para
. Aplicamos
em
:
Em seguida, aplicamos
em
:
Somando, vem
pois
pelo teorema de Schwarz.
Passo 4
Concluímos que tanto
quanto
satisfazem a equação de Laplace em :
Resposta
Mostrou-se que
isto é,
e
são harmônicas.