(UCDB-MT) O sistema -x+2 y+z-2 & =0 x+2 y-2 z & =0 x-4 y+10 z-6 & =0 2 x+7 y-5 z-2 & =0 é:
b) homogêneo

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de quatro equações em três incógnitas :
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares: verificar se é homogêneo (todos os termos independentes iguais a zero) e em seguida analisar sua compatibilidade (existência de solução).

Passo 2

Para ver se o sistema é homogêneo, examinamos os termos independentes (constantes) de cada equação. Uma equação do tipo
a x + b y + c z + d = 0
é homogênea se e somente se d=0. No nosso sistema, as equações 1, 3 e 4 têm dneq0 (são -2, -6 e -2, respectivamente). Logo, não é um sistema homogêneo.

Passo 3

Agora, para verificar compatibilidade, fazemos eliminação ou substituição. Da primeira equação
-x + 2y + z = 2 Longrightarrow x = 2y + z - 2
Substituindo em
x + 2y - 2z = 0
obtém-se
(2y+z-2) + 2y - 2z = 0 Longrightarrow 4y - z = 2 Longrightarrow z = 4y - 2
Ainda usando x=2y+z-2 e z=4y-2 na terceira equação
x - 4y + 10z = 6
temos
(2y + (4y-2) -2) -4y +10(4y-2) = 6 Longrightarrow 42y = 30 Longrightarrow y = tfrac57,
z = 4l(tfrac57r) -2 = tfrac67, x = 2l(tfrac57r) + tfrac67 -2 = tfrac27

Passo 4

Por fim, checamos esses valores na quarta equação:
2x + 7y -5z = 2 Longrightarrow 2cdottfrac27 + 7cdottfrac57 - 5cdottfrac67 = tfrac47 + 5 - tfrac307 = tfrac4 + 35 - 307 = tfrac97 neq 2
Como não satisfaz a quarta equação, não há solução comum a todas elas.

Resposta

O sistema é não homogêneo (há termos independentes não nulos) e incompatível (não possui solução).

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