(Unificado- RJ) Para que valores de k existe uma única matriz tal que
e) k neq 2 e k neq-1
Passo 1
O enunciado dá o sistema homogêneo
e pede os valores de para os quais há única solução . O conteúdo é sistema linear homogêneo e a condição de unicidade da solução é que a matriz seja invertível, ou seja, tenha determinante não nulo.
Passo 2
Chamando
A= k-1 & -2 -1 & k ,
sabemos que o sistema A,(x,y)^T=(0,0)^T admite apenas a solução trivial (x,y)=(0,0) se, e somente se, det(A)neq0.
Passo 3
Calculamos o determinante de A:
det(A) = (k-1)cdot k ;-;(-2)cdot(-1) = k(k-1) - 2 = k^2 - k - 2
Passo 4
Para encontrar os valores de k que anulam o determinante, resolvemos
k^2 - k - 2 = 0 Longrightarrow (k-2)(k+1)=0 Longrightarrow k=2 ou k=-1
Passo 5
Portanto det(A)neq0 exatamente quando kneq2 e kneq -1. Nesses casos a única solução do sistema é (x,y)=(0,0).