Use indução para mostrar os seguintes fatos para todo
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a soma dos primeiros números ímpares até
é igual a
. Vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que valem para todos os números naturais. Para isso, a gente precisa entender o que vamos usar: soma de termos de uma sequência e a propriedade de indução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o primeiro número natural, ou seja, para
. Isso é chamado de caso base.
Quando
:
E
Então, . Tá certinho! O caso base funciona.
Então,
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
. Isso é a nossa hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também é verdadeira para
.
Passo 4
Vamos provar que, se a afirmação vale para
, ela também vale para
. Então, precisamos calcular:
Pela hipótese de indução, sabemos que:
Então, substituindo na expressão:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Somando os termos semelhantes:
E isso é igual a
, que é exatamente o que queríamos mostrar para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo
: