Use indução para mostrar os seguintes fatos para todo n in N :
1+3+5+cdots+(2 n+1)=(n+1)^2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a soma dos primeiros números ímpares até 2n + 1 é igual a (n + 1)^2. Vamos usar indução matemática, que é uma técnica para provar afirmações que valem para todos os números naturais. Para isso, a gente precisa entender o que vamos usar: soma de termos de uma sequência e a propriedade de indução.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o primeiro número natural, ou seja, para n = 0. Isso é chamado de caso base.
Quando n = 0:
1 + 3 + 5 + cdots + (2 cdot 0 + 1) = 1
E (0 + 1)^2 = 1
Então, 1 = 1. Tá certinho! O caso base funciona.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural k. Isso é a nossa hipótese de indução. Ou seja, estamos assumindo que:
1 + 3 + 5 + cdots + (2k + 1) = (k + 1)^2
Essa suposição nos ajuda a provar que a afirmação também é verdadeira para k + 1.

Passo 4

Vamos provar que, se a afirmação vale para k, ela também vale para k + 1. Então, precisamos calcular:
1 + 3 + 5 + cdots + (2k + 1) + [2(k + 1) + 1]
Pela hipótese de indução, sabemos que:
1 + 3 + 5 + cdots + (2k + 1) = (k + 1)^2
Então, substituindo na expressão:
(k + 1)^2 + [2(k + 1) + 1]

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
(k + 1)^2 + 2(k + 1) + 1 = (k^2 + 2k + 1) + 2k + 2 + 1
Somando os termos semelhantes:
k^2 + 4k + 4 = (k + 2)^2
E isso é igual a ( (k + 1) + 1 )^2 = (k + 2)^2, que é exatamente o que queríamos mostrar para k + 1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, mostramos que para todo n in N:
1 + 3 + 5 + cdots + (2n + 1) = (n + 1)^2

Exercícios relacionados