(UFRN) Em uma calculadora, a tecla T transforma o número x (não nulo), que está no visor, em 1x, e a tecla V duplica o número que se encontra no visor. Se o número 2 estiver no visor e forem digitados, alternadamente, as teclas TeV , iniciandose por T, num total de 2025 digitações, será obtido um número igual a:
a) 2^2025
b) 1
c) 2
d) 12
e) 12^2025

Passo 1

O enunciado diz que no visor há um número xneq0, e a tecla T faz xmapsto1x enquanto a tecla V faz xmapsto2x. Começamos com 2 e pressionamos alternadamente T, V, T, V, …, num total de 2025 toques, iniciando por T. Precisamos entender a composição dessas operações e quantas vezes ela ocorre.

Passo 2

Agrupando duas teclas seguidas (primeiro T e depois V) definimos uma função
f(x)=l(VcircTr)(x) =2cdot1x=2x
Cada par de toques “T depois V” transforma x em 2x.

Passo 3

Observamos que f é involutória, ou seja,
fl(f(x)r) =f!l(2xr) =2tfrac2x =x
Logo, aplicar f duas vezes devolve o valor original.

Passo 4

Como há 2025 toques e eles são agrupados em pares, temos
número de pares=llfloortfrac20252rrfloor=1012 ú
e sobra um toque, que será um T (pois começamos em T e 2025 é ímpar).

Passo 5

Após 1012 pares aplicamos f^1012 ao valor inicial 2. Como 1012 é par e f^2=id, resulta
f^1012(2)=2
Falta então o último toque T, que faz a recíproca:
resu<ado final=12

Resposta

12

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