UFRRJ Seja \mathrm{f}: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} uma função definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}, se o gráfico da função f passa pelos pontos \mathrm{A}(1,2) e \mathrm{B}(2,3), a função \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x}) é:
A) \mathrm{f}^{-1}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1
B) f^{-1}(x)=-x+1
C) f^{-1}(x)=x-1
D) f^{-1}(x)=x+2
E) f^{-1}(x)=-x+2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função é da forma \mathrm{f}(x)=ax+b, com a e b reais.
  • O gráfico de \mathrm{f} passa pelos pontos A\bigl(1,2\bigr) e B\bigl(2,3\bigr).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar qual é a expressão de \mathrm{f}^{-1}(x) entre as alternativas A)–E).

Passo 2

Vamos usar os pontos dados para encontrar a\) e \(b\). Substituindo \(x=1\) e \(y=2\) em \(\mathrm{f}(x)=ax+b\) obtemos: \[a\cdot 1 + b = 2 \quad\Rightarrow\quad a + b = 2.
Substituindo x=2 e y=3 obtemos:
a\cdot 2 + b = 3 \quad\Rightarrow\quad 2a + b = 3.
Agora resolvemos o sistema
\begin{cases} a + b = 2,\\[4pt] 2a + b = 3. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2a+b)-(a+b)=3-2 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Substituindo a=1\] em \(a+b=2:
1+b=2 \quad\Rightarrow\quad b=1.]

Passo 3

Com a=1 e b=1 temos
\mathrm{f}(x)=x+1.
Agora vamos lembrar como obter a função inversa de uma função afim. Começamos escrevendo y=ax+b e resolvendo para x:
y=ax+b \quad\Rightarrow\quad ax=y-b \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y-b}{a}.
A função inversa troca os papéis de x e y, então a expressão de \mathrm{f}^{-1} em termos de x é
\mathrm{f}^{-1}(x)=\frac{x-b}{a},
onde a e b são os coeficientes da reta original \mathrm{f}(x)=ax+b. Essa fórmula funciona somente se a\neq 0, porque precisamos dividir por a.

Passo 4

Aplicando a fórmula \mathrm{f}^{-1}(x)=\dfrac{x-b}{a} com a=1 e b=1:
\mathrm{f}^{-1}(x)=\frac{x-1}{1}=x-1.

Passo 5

Verificação rápida (importante na hora da prova): compor \mathrm{f} com \mathrm{f}^{-1} deve devolver x:
\mathrm{f}\bigl(\mathrm{f}^{-1}(x)\bigr)=\mathrm{f}(x-1)=(x-1)+1=x,
logo a inversa está correta. Respira que deu certo — você já resolve esse tipo sem medo!

Resposta

C) \mathrm{f}^{-1}(x)=x-1

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