Umm processo de produção calculou que uma empresa produz 4 \% de peças defeituosas. O controle de qualidade é feito em duas etapas independentes. A primeira etapa acusa uma peça defeituosa com 80 \% de probabilidade de acerto. A segunda etapa acusa uma peça defeituosa com 90% de probabilidade de acerto.
Calcule a probabilidade de que uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A produção tem taxa de peças defeituosas: \,4\%.
  • O controle de qualidade tem duas etapas independentes:
    • A primeira etapa acusa (detecta) uma peça defeituosa com probabilidade \,80\%.
    • A segunda etapa acusa (detecta) uma peça defeituosa com probabilidade \,90\%.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a probabilidade de que uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade (ou seja, não seja acusada por nenhuma das duas etapas).

Passo 2

Vamos definir eventos claros (isso ajuda a pensar na prova sem confusão):
  • Seja D o evento “a peça é defeituosa” (nota: a pergunta é condicional a uma peça defeituosa, então trabalhamos dado D).
  • Seja A_1 o evento “a primeira etapa acusa (detecta) a peça como defeituosa”.
  • Seja A_2 o evento “a segunda etapa acusa (detecta) a peça como defeituosa”.
Pedir “a peça defeituosa passe pelo controle” significa que nem a primeira nem a segunda etapas a detectaram. Em símbolos, queremos a probabilidade de
A_1^c \cap A_2^c,
condicionado ao fato de ser defeituosa (mas aqui todas as probabilidades de detecção já são dadas para peças defeituosas, então podemos trabalhar diretamente com essas probabilidades condicionais).

Passo 3

Explicando conceitos essenciais usados:
  • Complemento: se P(A_1)= probabilidade de detectar na etapa 1, então P(A_1^c)=1-P(A_1) é a probabilidade de a etapa 1 NÃO detectar.
  • Independência: o enunciado diz que as duas etapas são independentes. Para eventos independentes vale a regra de multiplicação
P(A_1^c \cap A_2^c)=P(A_1^c)\cdot P(A_2^c).
Isto significa que a chance de ambas falharem é o produto das chances de cada uma falhar, porque uma etapa não influencia a outra.

Passo 4

Aplicando aos números dados:
  • A primeira etapa detecta com probabilidade \,P(A_1)=0,80. Logo a primeira falha com probabilidade
P(A_1^c)=1-P(A_1)=1-0,80=0,20.
  • A segunda etapa detecta com probabilidade \,P(A_2)=0,90. Logo a segunda falha com probabilidade
P(A_2^c)=1-P(A_2)=1-0,90=0,10.
Como são independentes, a probabilidade de ambas falharem (ou seja, a peça defeituosa passar sem ser acusada) é
P(A_1^c \cap A_2^c)=P(A_1^c)\cdot P(A_2^c)=0,20\cdot 0,10=0,020.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida:
  • 0,020 em porcentagem é \,2\%.
  • Verificação alternativa (por complemento): a probabilidade de a peça defeituosa ser detectada por pelo menos uma das etapas é
1-P(A_1^c \cap A_2^c)=1-0,020=0,980,
ou seja, 98\% são detectadas, então 2\% passam despercebidas — consistente com o cálculo anterior.

Resposta

2\%

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