Umm processo de produção calculou que uma empresa produz
de peças defeituosas. O controle de qualidade é feito em duas etapas independentes. A primeira etapa acusa uma peça defeituosa com
de probabilidade de acerto. A segunda etapa acusa uma peça defeituosa com 90% de probabilidade de acerto.
Calcule a probabilidade de que uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade.
Calcule a probabilidade de que uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A produção tem taxa de peças defeituosas:
. - O controle de qualidade tem duas etapas independentes:
- A primeira etapa acusa (detecta) uma peça defeituosa com probabilidade
. - A segunda etapa acusa (detecta) uma peça defeituosa com probabilidade
.
- A primeira etapa acusa (detecta) uma peça defeituosa com probabilidade
O que o enunciado pede:
- Calcular a probabilidade de que uma peça defeituosa passe pelo controle de qualidade (ou seja, não seja acusada por nenhuma das duas etapas).
Passo 2
Vamos definir eventos claros (isso ajuda a pensar na prova sem confusão):
- Seja
o evento “a peça é defeituosa” (nota: a pergunta é condicional a uma peça defeituosa, então trabalhamos dado ). - Seja
o evento “a primeira etapa acusa (detecta) a peça como defeituosa”. - Seja
o evento “a segunda etapa acusa (detecta) a peça como defeituosa”.
Pedir “a peça defeituosa passe pelo controle” significa que nem a primeira nem a segunda etapas a detectaram. Em símbolos, queremos a probabilidade de
condicionado ao fato de ser defeituosa (mas aqui todas as probabilidades de detecção já são dadas para peças defeituosas, então podemos trabalhar diretamente com essas probabilidades condicionais).
Passo 3
Explicando conceitos essenciais usados:
- Complemento: se
probabilidade de detectar na etapa 1, então é a probabilidade de a etapa 1 NÃO detectar. - Independência: o enunciado diz que as duas etapas são independentes. Para eventos independentes vale a regra de multiplicação
Isto significa que a chance de ambas falharem é o produto das chances de cada uma falhar, porque uma etapa não influencia a outra.
Passo 4
Aplicando aos números dados:
- A primeira etapa detecta com probabilidade
. Logo a primeira falha com probabilidade
- A segunda etapa detecta com probabilidade
. Logo a segunda falha com probabilidade
Como são independentes, a probabilidade de ambas falharem (ou seja, a peça defeituosa passar sem ser acusada) é
Passo 5
Interpretação final e verificação rápida:
-
em porcentagem é . - Verificação alternativa (por complemento): a probabilidade de a peça defeituosa ser detectada por pelo menos uma das etapas é
ou seja,
são detectadas, então
passam despercebidas — consistente com o cálculo anterior.