3^{\underline{a}} (20 pontos) Questão:

Determine o comprimento da curva espacial \mathbf{r}(t)=<\cos t+\operatorname{tsen} t, t^{2}, \operatorname{sen} t-t \cos t>, no intervalo 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva espacial
\mathbf{r}(t)=\bigl\langle \cos t + t\sin t,\;t^{2},\;\sin t - t\cos t\bigr\rangle
no intervalo 0\le t\le \tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no espaço, e vamos precisar de derivar cada componente para usar
L=\int_{0}^{\pi/2}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada vetor componente a componente:
a primeira componente é \cos t + t\sin t, cuja derivada é
(-\sin t)+(\sin t + t\cos t)=t\cos t.
A segunda componente t^{2} deriva para 2t.
A terceira componente \sin t - t\cos t deriva para
\cos t -\bigl(\cos t - t\sin t\bigr)=t\sin t.
Logo
\mathbf{r}'(t)=\bigl\langle t\cos t,\;2t,\;t\sin t\bigr\rangle.

Passo 3

O módulo de \mathbf{r}'(t) é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(t\cos t)^{2}+(2t)^{2}+(t\sin t)^{2}} =\sqrt{t^{2}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)+4t^{2}} =\sqrt{5\,t^{2}} =\sqrt{5}\,t,
pois t\ge0 no intervalo dado.

Passo 4

Substituindo em L temos
L=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{5}\,t\,dt =\sqrt{5}\,\int_{0}^{\pi/2}t\,dt =\sqrt{5}\,\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\sqrt{5}\,\frac{(\pi/2)^{2}}{2} =\frac{\pi^{2}\sqrt{5}}{8}.

Resposta

L=\frac{\pi^{2}\sqrt{5}}{8}.

Exercícios relacionados