4^{\underline{a}} (20 pontos) Questão:

Um fio na forma da curva espacial \mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \operatorname{sen} t \mathbf{j}+t \mathbf{k},(0 \leq t \leq \pi) é eletrizado e fica com uma densidade linear de carga \delta(x, y, z)=-\frac{1}{2} \operatorname{sen} z. Calcule a carga total nesse fio.

Passo 1

O enunciado dá uma curva espacial
\mathbf{r}(t) = 2\cos t\,\mathbf{i} + 2\sin t\,\mathbf{j} + t\,\mathbf{k},\quad 0 \le t \le \pi
e uma densidade linear de carga que depende da posição:
\delta(x,y,z) = -\tfrac12 \sin z.
Para encontrar a carga total, usamos integral de linha de uma densidade escalar ao longo da curva:
Q = \int_C \delta(x,y,z)\,ds = \int_{0}^{\pi} \delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\,\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização
\mathbf{r}'(t) = \bigl(-2\sin t,\,2\cos t,\,1\bigr).

Passo 3

O módulo de \mathbf{r}'(t) é
\bigl|\mathbf{r}'(t)\bigr| = \sqrt{(-2\sin t)^2 + (2\cos t)^2 + 1^2} = \sqrt{4\sin^2 t + 4\cos^2 t + 1} = \sqrt{5}.

Passo 4

A densidade ao longo da curva fica
\delta\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) = -\tfrac12 \sin\bigl(z(t)\bigr) = -\tfrac12 \sin t.

Passo 5

Montamos a integral da carga total:
Q = \int_{0}^{\pi} \Bigl(-\tfrac12 \sin t\Bigr)\,\sqrt{5}\;dt = -\tfrac{\sqrt{5}}{2} \int_{0}^{\pi} \sin t\,dt.
Calculando a integral
\int_{0}^{\pi} \sin t\,dt = \bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi - \bigl(-\cos0\bigr) = -(-1) - (-1) = 2,
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Q = -\tfrac{\sqrt{5}}{2}\times 2 = -\sqrt{5}.

Resposta

A carga total no fio é -\sqrt{5}.

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