\underline{3} - A forma geral para equação de Stefan-Maxwell para o fluxo de transferência de massa na direção z da espécie i, em uma mistura gasosa ideal de n componentes, é dada por:
\frac{d y_{i}}{d z}=\sum_{j=1, j \neq i}^{n} \frac{y_{i} \cdot y_{j}}{D_{i j}}\left(\vec{v}_{j}-\vec{v}_{i}\right)
Mostre que pra uma mistura binária gasosa das espécies A e B essa relação é equivalente à Equação de Fick para a taxa de difusão.
\vec{N}_{A, z}=-c \cdot D_{A B} \frac{d y_{A}}{d z}+y_{A}\left(\vec{N}_{A, z}+\vec{N}_{B, z}\right)

Passo 1

O enunciado dá a forma geral da equação de Stefan–Maxwell para o gradiente de fração molar em mistura gasosa e pede que, no caso binário (espécies A e B), se recupere a lei de Fick na forma
\vec{N}_{A,z}=-c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{dz}+y_{A}\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).
Vamos usar as definições de fração molar y_i, fluxo molar \vec{N}_i e concentração total c.

Passo 2

Para mistura binária as somas em Stefan–Maxwell reduzem-se a um único termo j\neq i. Para i=A temos
\frac{d y_{A}}{dz} =\frac{y_{A}\,y_{B}}{D_{AB}}\bigl(v_{B}-v_{A}\bigr).

Passo 3

Usamos a relação entre velocidade molar e fluxo molar:
\vec{N}_{i} = c\,y_{i}\,v_{i} \quad\Longrightarrow\quad v_{i}=\frac{\vec{N}_{i}}{c\,y_{i}}.
Substituindo em Stefan–Maxwell:
\frac{d y_{A}}{dz} =\frac{y_{A}\,y_{B}}{D_{AB}}\Bigl(\frac{N_{B}}{c\,y_{B}}-\frac{N_{A}}{c\,y_{A}}\Bigr) =\frac{1}{c\,D_{AB}}\bigl(y_{A}N_{B}-y_{B}N_{A}\bigr).

Passo 4

Multiplicando por c\,D_{AB} e reorganizando:
c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{dz} =y_{A}N_{B}-y_{B}N_{A} \quad\Longrightarrow\quad y_{B}N_{A} =y_{A}N_{B}-c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{dz}.
Como y_{A}+y_{B}=1 e N_{A}+N_{B}=N_{\text{tot}}, então
N_{A} =-c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{dz} +y_{A}\bigl(N_{A}+N_{B}\bigr),
que é exatamente a forma de Fick pedida.

Resposta

\vec{N}_{A,z} =-c\,D_{AB}\,\frac{d y_{A}}{dz} +y_{A}\bigl(\vec{N}_{A,z}+\vec{N}_{B,z}\bigr).

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