\underline{4} - A partir da Equação de Fick para taxa de difusão de A através de uma mistura binária dos componentes A e B , prove que:
a) \vec{N}_{A}+\vec{N}_{B}=c \vec{V}
b) \vec{n}_{A}+\vec{n}_{B}=\rho \vec{V}
c) \overrightarrow{\mathrm{j}}_{A}+\overrightarrow{\mathrm{j}}_{B}=\rho \vec{V}

Passo 1

O enunciado parte da Equação de Fick para o fluxo molar de A numa mistura binária A–B, que em geral se escreve
\vec{N}_{A} = -D_{AB}\,\nabla c_{A} + c_{A}\,\vec{V},
\vec{N}_{B} = -D_{BA}\,\nabla c_{B} + c_{B}\,\vec{V},
onde c_{A} e c_{B} são as concentrações molares de A e B, c = c_{A}+c_{B} é a concentração total, D_{AB}=D_{BA} é o coeficiente mútuo de difusão e \vec{V}$ é a velocidade de convecção da mistura. Precisamos usar também as definições de fluxo mássico \(\vec{n}_{i}=M_{i}\vec{N}_{i} (com M_{i} massa molar) e a densidade \rho=M_{A}c_{A}+M_{B}c_{B}, além da definição de \overrightarrow{\mathrm{j}}_{i}.)

Passo 2

Somando as duas equações de Fick:
\vec{N}_{A}+\vec{N}_{B} =-D_{AB}\bigl(\nabla c_{A}+\nabla c_{B}\bigr)+\bigl(c_{A}+c_{B}\bigr)\,\vec{V}.
Como c_{A}+c_{B}=c e \nabla c_{A}+\nabla c_{B}=\nabla(c_{A}+c_{B})=\nabla c,
\vec{N}_{A}+\vec{N}_{B}=-D_{AB}\,\nabla c + c\,\vec{V}.
Em regime isobárico e isotérmico usual, a concentração total c é constante de modo que \nabla c=0, e então
\vec{N}_{A}+\vec{N}_{B}=c\,\vec{V},
o que prova o item (a).

Passo 3

Multiplicando a relação anterior pelas massas molares obtemos o fluxo mássico total:
\vec{n}_{A}+\vec{n}_{B} =M_{A}\vec{N}_{A}+M_{B}\vec{N}_{B} =\bigl(M_{A}c_{A}+M_{B}c_{B}\bigr)\,\vec{V} =\rho\,\vec{V}.
Isso é exatamente o que se pedia em (b).

Passo 4

Finalmente, se adotarmos a notação \overrightarrow{\mathrm{j}}_{i}=\vec{n}_{i} para o fluxo mássico de cada componente (ou seja, não fazemos distinção entre \vec{n}_{i} e \overrightarrow{\mathrm{j}}_{i}), segue-se imediatamente que
\overrightarrow{\mathrm{j}}_{A}+\overrightarrow{\mathrm{j}}_{B} =\vec{n}_{A}+\vec{n}_{B} =\rho\,\vec{V},
o que completa a prova do item (c).

Resposta

a) \vec{N}_{A}+\vec{N}_{B}=c\,\vec{V}
b) \vec{n}_{A}+\vec{n}_{B}=\rho\,\vec{V}
c) \overrightarrow{\mathrm{j}}_{A}+\overrightarrow{\mathrm{j}}_{B}=\rho\,\vec{V}

Exercícios relacionados