8^{\underline{\mathrm{a}}} Questão:
Uma antena parabólica de 20 m de diâmetro recebe, em incidência normal, o sinal de rádio de uma fonte distante. O sinal é uma onda senoidal contínua, com amplitude \mathrm{E} 0=0,2 \mathrm{mV} / \mathrm{m}. A antena absorve toda a radiação incidente sobre o coletor parabólico. Calcular:
b) a intensidade da radiação incidente sobre a antena;

Passo 1

O enunciado (parte b) pede: calcular a intensidade da radiação incidente sobre a antena. Informações relevantes fornecidas:
  • Diâmetro do coletor parabólico: 20\\ \text{m}. (Essa informação não é necessária para a intensidade por unidade de área, mas seria usada se pedissem potência total depois.)
  • Amplitude do campo elétrico da onda incidente: \mathrm{E}_0 = 0{,}2\\ \text{mV/m}.
  • A incidência é normal e a antena absorve toda a radiação incidente sobre o coletor parabólico.
Conversão do dado numérico para unidades SI:
\mathrm{E}_0 = 0{,}2\\ \text{mV/m} = 0{,}2\times10^{-3}\\ \text{V/m} = 2{,}0\times10^{-4}\\ \text{V/m}.

Passo 2

O que é intensidade (irradiância) de uma onda eletromagnética e como calcular a partir de \mathrm{E}_0.
  • Definição física: a intensidade média (irradiância) \langle S\rangle é a componente média do vetor de Poynting, ou seja, a potência média transportada pela onda por unidade de área perpendicular à direção de propagação. Unidade: \text{W/m}^2.
  • Fórmula para uma onda plana eletromagnética no vácuo: a magnitude instantânea do vetor de Poynting é
S(t)=\frac{1}{\mu_0}\,E(t)\,B(t),
onde \mu_0 é a permeabilidade do vácuo, E(t) e B(t) são os campos elétrico e magnético instantâneos. Para uma onda plana em vácuo os campos são perpendiculares e têm relação
B(t)=\frac{E(t)}{c},
sendo c a velocidade da luz no vácuo.
  • Substituindo:
S(t)=\frac{E(t)^2}{\mu_0 c}.
Como \mu_0 c é igual à impedância do espaço livre Z_0 (ou seja, Z_0=\mu_0 c), pode-se escrever também
S(t)=\frac{E(t)^2}{Z_0}.
  • A onda senoidal tem E(t)=\mathrm{E}_0\sin(\omega t). Então S(t)=\dfrac{\mathrm{E}_0^2\sin^2(\omega t)}{Z_0}. A intensidade média no tempo é a média de \sin^2, que vale 1/2. Logo:
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{E}_0^2}{Z_0}.
  • Valores numéricos úteis:
    • Impedância do vácuo: Z_0\approx 377\\ \Omega.
    • Alternativamente, pode-se usar \langle S\rangle=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 c \mathrm{E}_0^2, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo; ambas as formas dão o mesmo resultado.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados.
  • Primeiro, já convertimos \mathrm{E}_0 para SI:
\mathrm{E}_0 = 2{,}0\times10^{-4}\\ \text{V/m}.
  • Calcula-se \mathrm{E}_0^2:
\mathrm{E}_0^2 = \left(2{,}0\times10^{-4}\right)^2 = 4{,}0\times10^{-8}\\ \text{V}^2/\text{m}^2.
  • Usando Z_0\approx 377\\ \Omega na fórmula
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,\frac{\mathrm{E}_0^2}{Z_0},
temos
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,\frac{4{,}0\times10^{-8}}{377}\\ \text{W/m}^2.

Passo 4

Cálculo final (fazendo as contas passo a passo sem pular etapas).
  • Divisão intermediária:
\frac{4{,}0\times10^{-8}}{377}\approx 1{,}06\times10^{-10}\\ \text{W/m}^2.
  • Metade disso:
\langle S\rangle \approx \frac{1}{2}\times 1{,}06\times10^{-10} \approx 5{,}30\times10^{-11}\\ \text{W/m}^2.
Interpretação curta e incentivo: o valor é muito pequeno (o campo elétrico dado é fraco), mas agora você já tem a receita para transformar qualquer amplitude de campo elétrico em intensidade: use \langle S\rangle=\dfrac{1}{2}\mathrm{E}_0^2/Z_0. Vai dar certo na prova — respira, e segue em frente!

Resposta

\langle S\rangle \approx 5{,}30\times10^{-11}\\ \text{W/m}^2

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