4^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Calcule e explique o resultado em cada item
\int_{0}^{1} \frac{d}{d x}\left(e^{\operatorname{arctg} x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\frac{d}{dx}\bigl(e^{\operatorname{arctg}x}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que, se F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b}f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui identificamos F(x)=e^{\operatorname{arctg}x}, cuja derivada é exatamente o integrando.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\frac{d}{dx}\bigl(e^{\operatorname{arctg}x}\bigr)\,dx = e^{\operatorname{arctg}x}\Big|_{0}^{1}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=1 e x=0. Sabemos que
\operatorname{arctg}(1)=\frac{\pi}{4} \quad\text{e}\quad \operatorname{arctg}(0)=0.
Portanto,
e^{\operatorname{arctg}(1)}-e^{\operatorname{arctg}(0)} = e^{\frac{\pi}{4}}-e^{0} = e^{\frac{\pi}{4}}-1.

Resposta

e^{\frac{\pi}{4}} - 1

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