3^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Expresse
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \operatorname{sen} x_{i} \Delta x
como uma integral definida no intervalo [0, \pi] e então calcule a integral.

Passo 1

O enunciado apresenta o limite de uma soma de Riemann
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{sen} x_{i}\,\Delta x
no intervalo [0,\pi]. O conteúdo é traduzir essa soma em uma integral definida e, em seguida, calcular essa integral.

Passo 2

Para interpretar a soma como soma de Riemann, tomamos uma partição uniforme de [0,\pi]: \Delta x = \frac{\pi-0}{n} = \frac{\pi}{n}
e pontos de amostragem
x_{i} = 0 + i\,\Delta x = i\,\frac{\pi}{n},\quad i=1,2,\dots,n.

Passo 3

Pela definição de soma de Riemann, temos
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{sen} x_{i}\,\Delta x =\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx
precisamos de uma antiderivada de \operatorname{sen} x. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(-\cos x\bigr)=\operatorname{sen} x,
logo uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x.

Passo 5

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx =\Bigl[-\cos x\Bigr]_{0}^{\pi} =-\cos(\pi)-\bigl(-\cos(0)\bigr) =-(-1)-\bigl(-1\bigr) =1+1=2.

Resposta

2

Exercícios relacionados