2^{\underline{\mathrm{a}}} Questão. Calcule
\int_{0}^{1}\left(x+\sqrt{1-x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1}\bigl(x + \sqrt{1 - x^{2}}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve soma de integrais e o cálculo de \displaystyle\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx, que pode ser feito por substituição trigonométrica ou reconhecido como área de um quarto de círculo de raio 1.

Passo 2

Separe a integral em duas partes:
\int_{0}^{1}x\,dx \;+\;\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx.

Passo 3

Calcule a primeira parte:
\int_{0}^{1}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcule a segunda parte por substituição x=\sin\theta, dx=\cos\theta\,d\theta. Quando x=0, \theta=0; quando x=1, \theta=\pi/2.
\int_{0}^{1}\sqrt{1 - x^{2}}\,dx =\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{\pi/2}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\Bigl[\tfrac{\theta}{2}+\tfrac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr]_{0}^{\pi/2} =\frac{\pi}{4}.

Passo 5

Some os resultados:
\frac{1}{2} \;+\;\frac{\pi}{4}.

Resposta

\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}.

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