1^{\underline{\mathrm{a}}} Questão.

a) Calcule a soma de Riemann para f(x)=x^{2}-x, 0 \leq x \leq 2, com quatro subintervalos, tomando como pontos amostrais as extremidades direitas.
b) Use a definição de integral definida (com as extremidades direitas) para calcular o valor da integral
\int_{0}^{2}\left(x^{2}-x\right) d x
c) Use o Teorema Fundamental para verificar sua resposta da parte (b).

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=x^2 - x no intervalo [0,2] e pede três coisas:
a) calcular a soma de Riemann com quatro subintervalos usando os pontos amostrais como extremidades direitas;
b) usar a definição de integral definida (limite das somas de Riemann com extremidades direitas) para obter o valor de
\int_{0}^{2}\bigl(x^2 - x\bigr)\,dx;
c) usar o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar a resposta de (b).

Passo 2

Para a parte (a), dividimos [0,2] em n=4 subintervalos de largura
\Delta x = \frac{2-0}{4} = 0,5.
Os pontos amostrais das extremidades direitas são
x_1 = 0,5,\quad x_2 = 1,0,\quad x_3 = 1,5,\quad x_4 = 2,0.
Calculamos f nesses pontos:
f(0,5) = (0,5)^2 - 0,5 = 0,25 - 0,5 = -0,25,
f(1,0) = 1 - 1 = 0,\quad f(1,5) = 2,25 - 1,5 = 0,75,\quad f(2,0) = 4 - 2 = 2.
A soma de Riemann é
S = \sum_{i=1}^{4} f(x_i)\,\Delta x = \bigl(-0,25 + 0 + 0,75 + 2\bigr)\times 0,5 = 2,5\times 0,5 = 1,25.

Passo 3

Para a parte (b), pela definição de integral usamos n subintervalos de largura \Delta x = 2/n e pontos de amostra x_i = i\,\Delta x. A soma de Riemann é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \Delta x\sum_{i=1}^{n}\bigl((i\Delta x)^2 - i\Delta x\bigr) = \Delta x^3\sum_{i=1}^{n}i^2 \;-\;\Delta x^2\sum_{i=1}^{n}i.
Usando
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2} e
\displaystyle \sum_{i=1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},
obtemos uma expressão em n.

Passo 4

Continuando o cálculo, com \Delta x = 2/n chega-se a
S_n =\frac{2(n+1)(n+2)}{3n^2}.
Fazendo n\to\infty vem
\lim_{n\to\infty}S_n = \frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{2}\bigl(x^2 - x\bigr)\,dx = \frac{2}{3}.

Passo 5

Para a parte (c), pelo Teorema Fundamental do Cálculo escolhemos
F(x) = \int (x^2 - x)\,dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}.
Logo
\int_{0}^{2}\bigl(x^2 - x\bigr)\,dx = F(2)-F(0) = \Bigl(\tfrac{8}{3}-2\Bigr)-0 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3},
confirmando o resultado de (b).

Resposta

a) 1,25
b) \dfrac{2}{3}
c) \dfrac{2}{3}

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