\underline{4^{\mathrm{a}}} Questão: Encontre a equação da linha de trajetória do ponto material que, no instante inicial, ocupa a posição (x, y, z)=(0,1,1), considerando o campo de velocidades \mathbf{v}=(x+z) \mathbf{i}+(x+z) \mathbf{j}. Calcule a aceleração deste ponto material no instante t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
\mathbf{v}(x,y,z) = (x+z)\,\mathbf{i} + (x+z)\,\mathbf{j}
e pede a linha de trajetória da partícula que em t=0 está em (0,1,1). Para isso, vamos resolver o sistema de equações diferenciais
\frac{dx}{dt} = v_x,\quad \frac{dy}{dt} = v_y,\quad \frac{dz}{dt} = v_z
com condição inicial (x,y,z)\bigl|_{t=0}=(0,1,1). Depois, calculamos a aceleração \mathbf{a}(t) como derivada temporal da velocidade ao longo dessa trajetória e avaliamos em t=0.

Passo 2

Escrevendo o sistema com o campo dado, temos
\frac{dx}{dt} = x + z,\quad \frac{dy}{dt} = x + z,\quad \frac{dz}{dt} = 0.
Como \frac{dz}{dt}=0, concluímos que
z(t)=1\quad\text{para todo }t,
pois z(0)=1.

Passo 3

Com z(t)=1, a equação de x fica
\frac{dx}{dt} = x + 1.
É uma EDO linear de primeira ordem. Separando variáveis ou usando fator integrante, obtemos
\ln\bigl|x+1\bigr| = t + C.
Como x(0)=0, temos \ln(1)=C=0. Logo
x+1 = e^t \quad\Longrightarrow\quad x(t)=e^t - 1.

Passo 4

Agora usamos \frac{dy}{dt}=x+1. Substituindo x(t), vem
\frac{dy}{dt} = e^t,
cuja integração dá
y(t)=\int e^t\,dt = e^t + C_2.
Como y(0)=1, segue 1 = e^0 + C_2 = 1 + C_2, então C_2=0. Assim
y(t)=e^t.

Passo 5

Juntando tudo, a linha de trajetória paramétrica é
(x(t),y(t),z(t)) = \bigl(e^t - 1,\;e^t,\;1\bigr).
Geometricamente, o percurso está sobre a reta z=1, y=x+1.

Passo 6

A aceleração de partícula é
\mathbf{a}(t) = \frac{d}{dt}\,\mathbf{v}\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr).
Na trajetória temos \mathbf{v}(t)=(e^t,e^t,0), pois x+z=e^t. Portanto
\mathbf{a}(t) = \bigl(e^t,e^t,0\bigr),
e em t=0
\mathbf{a}(0) = (1,1,0).

Resposta

A linha de trajetória é
(x,y,z) = \bigl(e^t - 1,\;e^t,\;1\bigr),
e a aceleração no instante t=0 é
\mathbf{a}(0) = (1,1,0).

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