\underline{4^{\mathrm{a}}} Questão: Encontre a equação da linha de trajetória do ponto material que, no instante inicial, ocupa a posição (x, y, z)=(0,1,1), considerando o campo de velocidades \mathbf{v}=(x+z) \mathbf{i}+(x+z) \mathbf{j}. Calcule a aceleração deste ponto material no instante t=0.
com condição inicial (x,y,z)\bigl|_{t=0}=(0,1,1). Depois, calculamos a aceleração \mathbf{a}(t) como derivada temporal da velocidade ao longo dessa trajetória e avaliamos em t=0.
Passo 2
Escrevendo o sistema com o campo dado, temos
\frac{dx}{dt} = x + z,\quad \frac{dy}{dt} = x + z,\quad \frac{dz}{dt} = 0.
Como \frac{dz}{dt}=0, concluímos que
z(t)=1\quad\text{para todo }t,
pois z(0)=1.
Passo 3
Com z(t)=1, a equação de x fica
\frac{dx}{dt} = x + 1.
É uma EDO linear de primeira ordem. Separando variáveis ou usando fator integrante, obtemos