4{ }^{\underline{\text { a }}} QUESTÃO

Algumas regras para derivadas de funções podem ser representadas por expressões com termos simples, o que ocorre com funções conhecidas, mas tais regras não se aplicam a funções mais complexas. Por exemplo, f(x)=(4 x+1)^{100} pois, é quase impossível derivar um produto com 101 termos usando regras usuais e derivação de funções. Mas, podemos expressar esta função como a composta de duas funções mais simples, motivo pelo qual, aprende-se a derivar qualquer função formada pela composição de funções com derivadas conhecidas. Por exemplo, a seguir é apresentado a Regra da Cadeia, que permite derivar uma função composta.
Regra da cadeia: Sejam f e g funções diferenciáveis e a função composta definida por h(x)=f(g(x)). Se u= \mathrm{g}(\mathrm{x}) é derivável no ponto x e se \mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{u}) é derivável no ponto \mathrm{u}=\mathrm{g}(\mathrm{x}), então a função composta h é derivável no ponto x e a sua derivada é dada por:
h^{\prime}(x)=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)
Fonte: Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/calculo/derivada2.html. Acesso em: Agosto. 2024. (adaptado).
Observado o texto acima, referente ao procedimento de se derivar uma função composta, observe a função f(x)=(2 x+3)^{5}. Derivando a função f(x) e calculando a derivada no valor 1, obtem-se um valor de:

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=(2x+3)^{5} e pede para derivá-la e calcular o valor da derivada no ponto x=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser derivada é \;f(x)=(2x+3)^{5}.\n
  • O que se quer é f'(x) e, em particular, f'(1).\n

Passo 2

Vamos usar a regra que permite derivar uma função composta. A fórmula geral (Regra da Cadeia) é:
h'(x)=f'(g(x))\,g'(x)
Explicando cada símbolo com calma:
  • g(x) é a função interna (aquela que aparece “dentro” de outra), ou seja, u=g(x).
  • f(u) é a função externa que recebe u como entrada.
  • g'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
  • f'(u) é a derivada da função externa em relação a u; quando aplicamos à composição, substituímos u por g(x) e multiplicamos por g'(x).
    Um exemplo simples para fixar: se tivermos (ax+b)^n, tratamos u=ax+b e F(u)=u^n. Assim a derivada é n u^{n-1}\cdot a, ou seja n a (ax+b)^{n-1}.

Passo 3

Identificamos as partes da composição na nossa função \;f(x)=(2x+3)^{5}:
  • Função interna: g(x)=2x+3.
  • Função externa: F(u)=u^{5}, onde u=g(x).
    (Para evitar confusão com o nome original f, estou chamando a externa de F, mas a composição F(g(x)) é exatamente a f(x) do enunciado.)

Passo 4

Derivamos separadamente a função externa em relação a u e a função interna em relação a x:
  • Derivada da externa: F'(u)=\dfrac{d}{du}\big(u^{5}\big)=5u^{4}.
    Explicação: a regra do poder diz que \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Aqui n=5, logo 5u^{4}.
  • Derivada da interna: g'(x)=\dfrac{d}{dx}(2x+3)=2.
    Explicação: a derivada de ax+b é a; a constante some.

Passo 5

Aplicamos a Regra da Cadeia: substituímos u por g(x) em F'(u) e multiplicamos por g'(x). Assim,
f'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=5\big(g(x)\big)^{4}\cdot 2.
Substituindo g(x)=2x+3 obtemos
f'(x)=5\big(2x+3\big)^{4}\cdot 2=10\big(2x+3\big)^{4}.
Comentário prático: você pode decorar diretamente que a derivada de (2x+3)^{5} é 5(2x+3)^{4} vezes a derivada de (2x+3), que é 2; daí o fator 10.

Passo 6

Agora calculamos f'(1). Primeiro calculamos a parte interna em x=1:
2\cdot 1 + 3 = 5.
Em seguida elevamos ao quarto:
5^{4} = (5^{2})^{2} = 25^{2} = 625.
Finalmente multiplicamos por 10:
f'(1)=10\cdot 625 = 6250.
Pequeno incentivo: é normal sentir medo no começo, mas a técnica é sempre a mesma — identificar a parte interna, derivar a externa e multiplicar. Com prática isso vira automático.

Resposta

6250

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