2^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[4]{16 x^{8}-7 x^{6}+3}}{-4 x^{2}+10}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[4]{16x^8-7x^6+3}}{-4x^2+10}.
Aqui vamos usar análise de comportamento assintótico: identificar termos de maior ordem em x no numerador e denominador, fatorar potências de x e simplificar.

Passo 2

No numerador temos uma raiz quarta. Fatoramos x^8 dentro da raiz:
\sqrt[4]{16x^8-7x^6+3} =\sqrt[4]{x^8\Bigl(16 -7x^{-2}+3x^{-8}\Bigr)} =x^2\sqrt[4]{16 -7x^{-2}+3x^{-8}}.
Para x\to+\infty, os termos x^{-2} e x^{-8} vão a zero, logo
\sqrt[4]{16 -7x^{-2}+3x^{-8}}\to\sqrt[4]{16}=2.
Assim o numerador se comporta como
\sqrt[4]{16x^8-7x^6+3}\sim 2x^2.

Passo 3

No denominador temos
-4x^2+10=-4x^2\Bigl(1-\tfrac{10}{4x^2}\Bigr).
Como x\to+\infty, \tfrac{10}{4x^2}\to0, então
-4x^2+10\sim -4x^2.

Passo 4

Montando a razão assintótica, para x\to+\infty:
\frac{\sqrt[4]{16x^8-7x^6+3}}{-4x^2+10} \sim \frac{2x^2}{-4x^2} =-\tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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