2^{\underline{a}} Questão: Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5^{x}}{3^{x}+2^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty}\frac{5^{x}}{3^{x}+2^{x}}.
Aqui usamos o comportamento de funções exponenciais quando x\to-\infty, em particular que se a base a>1 então a^{x}\to0. Também vamos usar fatoração para comparar termos.

Passo 2

Fatoramos 2^{x} no denominador para evidenciar as razões das bases:
\frac{5^{x}}{3^{x}+2^{x}} = \frac{5^{x}}{2^{x}\bigl((3/2)^{x}+1\bigr)} = \frac{(5/2)^{x}}{(3/2)^{x}+1}.

Passo 3

Quando x\to -\infty temos (5/2)^{x}\to0 e (3/2)^{x}\to0. Assim a fração fica
\frac{(5/2)^{x}}{(3/2)^{x}+1}\to\frac{0}{0+1}=0.

Resposta

0

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