3^{\underline{a}} Questão: Seja a função:
f(x)=\left\{\begin{array}{lc} e^{x}+x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right), & x>0 \\\ \ln \left(3 x^{2}+1\right) & x<0 \\\ k, & x=0 \end{array}\right.
a) Encontre k \in \mathbb{R} de forma que a função dada seja contínua em x=0.
b) Com a sua escolha de k, a função f é contínua em todo \mathbb{R} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} e^{x}+x^{2}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr),&x>0,\\\ \ln\bigl(3x^{2}+1\bigr),&x<0,\\\ k,&x=0, \end{cases}
e pede para escolher k\in\mathbb{R} tal que f seja contínua em x=0. Para isso precisamos que
\lim_{x\to0^-}f(x) =\lim_{x\to0^+}f(x) =f(0)=k.

Passo 2

Calcular \lim_{x\to0^+}f(x).
Para x>0 temos
f(x)=e^{x}+x^{2}\cos\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
Como \lim_{x\to0^+}e^{x}=1 e \bigl|x^{2}\cos(\tfrac1x)\bigr|\le x^{2}\to0, segue
\lim_{x\to0^+}f(x) =1+0 =1.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to0^-}f(x).
Para x<0 temos
f(x)=\ln\bigl(3x^{2}+1\bigr).
Como 3x^{2}+1\to1 quando x\to0, temos
\lim_{x\to0^-}f(x) =\ln(1) =0.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{x\to0^-}f(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}f(x)=1,
ou seja, as duas limites laterais não coincidem. Logo não existe valor de k que faça \lim_{x\to0}f(x) existir e igualar f(0)=k.

Resposta

a) Não existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em x=0.
b) Portanto, mesmo escolhendo qualquer k, f não é contínua em todo \mathbb{R}, pois falha a continuidade em x=0.

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