4^{\underline{a}} Questão: Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:
Sejam f(x)=\operatorname{tg} x e g(x)=x^{2}+1. Se h(x)=(f \circ g)(x), então a reta que é tangente ao gráfico de h no ponto de abscissa x=-1 é paralela à reta y=-x.

Passo 1

O enunciado define f(x)=\tan x, g(x)=x^2+1
e
h(x)=(f\circ g)(x)=\tan\bigl(x^2+1\bigr).
Queremos saber se a reta tangente ao gráfico de h em x=-1 é paralela à reta y=-x.
Uma reta é paralela a y=-x se seu coeficiente angular for -1. Logo precisamos calcular a derivada h'(x) (a inclinação da tangente) e avaliar em x=-1.

Passo 2

Usando a regra da cadeia: a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^2u vezes a derivada de u. Aqui u=g(x)=x^2+1, cuja derivada é 2x.
Portanto,
h'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[\tan\bigl(x^2+1\bigr)\Bigr] =\operatorname{sec}^2\bigl(x^2+1\bigr)\cdot 2x.

Passo 3

Agora avaliamos em x=-1:
h'(-1) =2(-1)\,\operatorname{sec}^2\bigl((-1)^2+1\bigr) =-2\;\operatorname{sec}^2(2) =-\frac{2}{\cos^2(2)}.
Para ser igual a -1 deveríamos ter \cos^2(2)=2, o que é impossível já que \cos^2(2)\le1. Logo
h'(-1)\neq -1.

Resposta

A afirmação é falsa.

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