4^{\underline{a}} Questão: Determine se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:
Não existe função par de domínio real que seja injetora.

Passo 1

O enunciado afirma que “não existe função par de domínio real que seja injetora”. Estamos no conteúdo de propriedades de funções, usando definições de função par e de função injetora.

Passo 2

Uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é par se, para todo x\in\mathbb{R}, valer
f(x)=f(-x).
A função f é injetora se, sempre que f(x_{1})=f(x_{2}), isso implica x_{1}=x_{2}.

Passo 3

Se f fosse ao mesmo tempo par e injetora, teríamos para todo x f(x)=f(-x)
pela paridade, e então pela injetividade deveríamos ter
x=-x.
A igualdade x=-x só ocorre em \mathbb{R} quando x=0. Logo, para qualquer x\neq 0 teríamos f(x)=f(-x) com x\neq -x, violando a injetividade. Concluímos que não pode existir função par definida em \mathbb{R} que seja injetora.

Resposta

Verdadeira.

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