(Unesp-SP) Dadas a matriz A=\left(\begin{array}{ll}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right), \operatorname{com} x \in \mathbb{R}, e a matriz U, definida pela equação
U=A^{2}-3 A+2 I
em que A^{2}=A \cdot A e I é a matriz identidade, então, o conjunto aceitável de valores de x de modo que U seja inversível é:
(a) \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3 e x \neq 5\}
(b) \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1 e x \neq 2\}
(c) \{x \in \mathbb{R} \mid x=3 e x=5\}
(d) \{x \in \mathbb{R} \mid x=1 e x=2\}
(e) \{x \in \mathbb{R} \mid x=2 e x \neq 1\}
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
e define
U = A^2 - 3A + 2I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Queremos saber para quais valores de x a matriz U é invertível. Como uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero, vamos calcular \det(U) e encontrar os valores de x que anulam esse determinante.
Passo 2
Primeiro calculamos
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.