(Unesp-SP) Dadas a matriz A=\left(\begin{array}{ll}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{array}\right), \operatorname{com} x \in \mathbb{R}, e a matriz U, definida pela equação
U=A^{2}-3 A+2 I
em que A^{2}=A \cdot A e I é a matriz identidade, então, o conjunto aceitável de valores de x de modo que U seja inversível é:
(a) \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 3 e x \neq 5\}
(b) \{x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1 e x \neq 2\}
(c) \{x \in \mathbb{R} \mid x=3 e x=5\}
(d) \{x \in \mathbb{R} \mid x=1 e x=2\}
(e) \{x \in \mathbb{R} \mid x=2 e x \neq 1\}

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}
e define
U = A^2 - 3A + 2I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Queremos saber para quais valores de x a matriz U é invertível. Como uma matriz quadrada é invertível exatamente quando seu determinante é diferente de zero, vamos calcular \det(U) e encontrar os valores de x que anulam esse determinante.

Passo 2

Primeiro calculamos
A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x & 2 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação de matrizes, obtemos
A^2 = \begin{pmatrix} x^2 + 2\cdot3 & x\cdot2 + 2\cdot4 \\\\ 3\cdot x + 4\cdot3 & 3\cdot2 + 4\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^2 + 6 & 2x + 8 \\\\ 3x + 12 & 22 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora formamos
U = A^2 - 3A + 2I.
Subtraindo 3A e somando 2I, cada entrada de U fica:
  • Entrada (1,1): (x^2+6) - 3x + 2 = x^2 - 3x + 8.
  • Entrada (1,2): (2x+8) - 3\cdot2 + 0 = 2x + 2.
  • Entrada (2,1): (3x+12) - 3\cdot3 + 0 = 3x + 3.
  • Entrada (2,2): 22 - 3\cdot4 + 2 = 12.
    Logo,
U = \begin{pmatrix} x^2 - 3x + 8 & 2x + 2 \\\\ 3x + 3 & 12 \end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos o determinante de U:
\det(U) = (x^2 - 3x + 8)\cdot 12 \;-\;(2x + 2)(3x + 3).
Fatorando (2x+2)(3x+3)=6(x+1)^2=6(x^2+2x+1), temos
\det(U) = 12x^2 - 36x + 96 \;-\; \bigl(6x^2 +12x +6\bigr) = 6x^2 - 48x +90 = 6\bigl(x^2 -8x +15\bigr) =6(x-3)(x-5).

Passo 5

A matriz U é invertível se, e somente se, \det(U)\neq0. Como
\det(U)=6(x-3)(x-5),
temos \det(U)=0 exatamente quando x=3 ou x=5. Logo U é invertível para todos os x\in\mathbb{R} com x\neq3 e x\neq5.

Resposta

(a) \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq3\\ \text{e}\\ x\neq5\}

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