(Unesp-SP) Seja A uma matriz. Se A^{3}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 6 & 14 \\\\ 0 & 14 & 34\end{array}\right], o determinante de A é:
(a) 8
(b) 2 \sqrt{2}
(c) 2
(d) \sqrt[3]{2}
(e) 1

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A tal que
A^{3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 6 & 14\\\\ 0 & 14 & 34 \end{pmatrix}
e nos pede \det(A). Vamos usar a propriedade de determinantes
\det(A^3)=(\det A)^3,
logo precisamos primeiro calcular \det(A^3).

Passo 2

Para calcular
\det(A^3) =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 6 & 14\\\\ 0 & 14 & 34 \end{vmatrix}
expandimos pela primeira linha. Como só o elemento 1 na posição (1,1) é não nulo, temos
\det(A^3) =1\;\cdot\det\begin{pmatrix}6 & 14\\\ 14 & 34\end{pmatrix} =6\cdot34-14\cdot14 =204-196 =8.

Passo 3

Agora usamos \det(A^3)=(\det A)^3. Como \det(A^3)=8, segue
(\det A)^3=8 \quad\Longrightarrow\quad \det A=\sqrt[3]{8}=2.

Resposta

(c) 2

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