(ITA-SP) Sendo x um número real positivo, considere as matrizes
A=\left(\begin{array}{ccc} \log _{\frac{1}{3}} x & \log _{\frac{1}{3}} x^{2} & 1 \\\\ 0 & -\log _{3} x & 1 \end{array}\right)
B=\left(\begin{array}{cc} 0 & \log _{\frac{1}{3}} x^{2} \\\\ 1 & 0 \\\\ -3 \log _{\frac{1}{3}} x & -4 \end{array}\right)
A soma de todos os valores de x para os quais (A B)=(A B)^{t} é igual a:
(a) \frac{25}{3}
(b) \frac{28}{3}
(c) \frac{32}{3}
(d) \frac{27}{2}
(e) \frac{25}{2}

Passo 1

O enunciado pede os valores de x>0 tais que a matriz
AB = \begin{pmatrix} \log_{1/3} x & \log_{1/3} x^{2} & 1 \\\\ 0 & -\log_{3} x & 1 \end{pmatrix} \!\! \begin{pmatrix} 0 & \log_{1/3} x^{2}\\\\ 1 & 0\\\\ -3\log_{1/3} x & -4 \end{pmatrix}
é simétrica, isto é, AB=(AB)^{t}. Para isso vamos multiplicar A por B e igualar os elementos fora da diagonal principal.

Passo 2

Defino
L = \log_{1/3}x.
Usando mudança de base, \log_{1/3}x^{2}=2L e
\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln3} = -L,
logo -\log_{3}x = L e -3\log_{1/3}x=-3L. Substituo em A e B.

Passo 3

As matrizes ficam
A = \begin{pmatrix}L & 2L & 1\\\ 0 & L & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 2L\\\ 1 & 0\\\ -3L & -4\end{pmatrix}.
O produto AB é
(AB)_{11} = L\cdot0 + 2L\cdot1 + 1\cdot(-3L) = -L,
(AB)_{12} = L\cdot(2L) + 2L\cdot0 + 1\cdot(-4) = 2L^2 - 4,
(AB)_{21} = 0\cdot0 + L\cdot1 + 1\cdot(-3L) = -2L,
(AB)_{22} = 0\cdot(2L) + L\cdot0 + 1\cdot(-4) = -4.

Passo 4

Para AB ser simétrica basta
(AB)_{12} = (AB)_{21} \quad\Longrightarrow\quad 2L^2 - 4 = -2L \quad\Longrightarrow\quad L^2 + L - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (L+2)(L-1)=0,
de onde L=1 ou L=-2.

Passo 5

Voltando a x:
\log_{1/3}x=1\implies x=\tfrac13, \quad \log_{1/3}x=-2\implies x=9.
A soma é
\tfrac13 + 9 = \tfrac{28}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{28}{3}

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