A soma de todos os valores de x para os quais (A B)=(A B)^{t} é igual a:
(a) \frac{25}{3}
(b) \frac{28}{3}
(c) \frac{32}{3}
(d) \frac{27}{2}
(e) \frac{25}{2}
Passo 1
O enunciado pede os valores de x>0 tais que a matriz
AB = \begin{pmatrix} \log_{1/3} x & \log_{1/3} x^{2} & 1 \\\\ 0 & -\log_{3} x & 1 \end{pmatrix} \!\! \begin{pmatrix} 0 & \log_{1/3} x^{2}\\\\ 1 & 0\\\\ -3\log_{1/3} x & -4 \end{pmatrix}
é simétrica, isto é, AB=(AB)^{t}. Para isso vamos multiplicar A por B e igualar os elementos fora da diagonal principal.
Passo 2
Defino
L = \log_{1/3}x.
Usando mudança de base, \log_{1/3}x^{2}=2L e
\log_{3}x = \frac{\ln x}{\ln3} = -L,
logo -\log_{3}x = L e -3\log_{1/3}x=-3L. Substituo em A e B.
Passo 3
As matrizes ficam
A = \begin{pmatrix}L & 2L & 1\\\ 0 & L & 1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 2L\\\ 1 & 0\\\ -3L & -4\end{pmatrix}.