A única força que age sobre o bloco de massa
quando se move ao longo do eixo positivo de
tem componente
igual a
em newtons, onde
é dado em metros. A sua velocidade em
in é
.
Calcule a posição do corpo
quando a velocidade for
Calcule a posição do corpo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de um bloco de massa 1,91 kg, que está se movendo ao longo do eixo x. A única força que atua nesse bloco tem uma componente na direção x dada por $ F_x = -4x $, onde $ x $ é a posição em metros. Sabemos também que, quando o bloco está na posição $ x_1 = 3,95 $ metros, sua velocidade é $ v_1 = 9,13 $ m/s. Precisamos descobrir qual será a posição $ x_3 $ do bloco quando sua velocidade for $ v_3 = 1,72 $ m/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, aceleração e movimentação em uma dimensão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a força que age no bloco e o movimento dele. A força $ F_x = -4x $ significa que a força é proporcional à posição $ x $ e atua na direção oposta (por causa do sinal negativo). Isso é típico de uma força restauradora, como a de uma mola.
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Aqui, $ a $ é a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Vamos igualar a força dada pela segunda lei de Newton à força fornecida na questão:
Substituindo a massa $ m = 1,91 $ kg:
Agora, sabemos que aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição $ x $ em relação ao tempo:
Então, podemos escrever:
Passo 4
Para simplificar, vamos reorganizar a equação:
Isso nos dá uma equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que caracteriza um movimento harmônico simples, onde a solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno.
Passo 5
A solução geral para a posição $ x(t) $ em um movimento harmônico simples é:
Onde:
- $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com as condições iniciais.
- $ \omega $ é a frequência angular, definida por:
Passo 6
Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. Sabemos que quando $ x = 3,95 $ metros, a velocidade $ v = 9,13 $ m/s.
Primeiro, expressamos a velocidade como a primeira derivada de $ x(t) $:
No instante inicial, vamos considerar $ t = 0 $:
Passo 7
Agora que temos $ A $ e $ B $, nossa equação para $ x(t) $ fica:
Queremos encontrar a posição $ x_3 $ quando a velocidade é $ v_3 = 1,72 $ m/s. Vamos usar a expressão da velocidade:
Simplificando:
Passo 8
Para resolver essa equação, podemos usar a identidade trigonométrica que combina seno e cosseno em uma única função:
Onde:
Então, a equação da velocidade fica:
Passo 9
Isolando a função seno:
Agora, calculamos o ângulo cujo seno é 0,1595:
Então:
Convertendo para radianos (já que trabalhamos com rad/s):
Agora, resolvemos para $ t $:
Passo 10
Agora que temos o tempo quando a velocidade é 1,72 m/s, podemos encontrar a posição $ x_3 $ substituindo $ t $ na equação de $ x(t) $:
Calculando os argumentos:
Então:
Calculando os valores trigonométricos:
Portanto:
Resposta
A posição do bloco quando a velocidade for de 1,72 m/s é aproximadamente 7,36 metros.