A única força que age sobre o bloco de massa 1,91 kg quando se move ao longo do eixo positivo de x tem componente x igual a Fx=-4 x em newtons, onde x é dado em metros. A sua velocidade em x1=3,95 in é v1=9,13 m / s.
Calcule a posição do corpo x3 quando a velocidade for v3=1,72 m / s (g=9,81 m / s^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de um bloco de massa 1,91 kg, que está se movendo ao longo do eixo x. A única força que atua nesse bloco tem uma componente na direção x dada por $ F_x = -4x $, onde $ x $ é a posição em metros. Sabemos também que, quando o bloco está na posição $ x_1 = 3,95 $ metros, sua velocidade é $ v_1 = 9,13 $ m/s. Precisamos descobrir qual será a posição $ x_3 $ do bloco quando sua velocidade for $ v_3 = 1,72 $ m/s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, aceleração e movimentação em uma dimensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a força que age no bloco e o movimento dele. A força $ F_x = -4x $ significa que a força é proporcional à posição $ x $ e atua na direção oposta (por causa do sinal negativo). Isso é típico de uma força restauradora, como a de uma mola.
Segundo a segunda lei de Newton, a força resultante sobre um objeto é igual à massa dele multiplicada pela aceleração:
Fx = -4x
Aqui, $ a $ é a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos igualar a força dada pela segunda lei de Newton à força fornecida na questão:
-4x = m cdot a
Substituindo a massa $ m = 1,91 $ kg:
m = 1,91
Agora, sabemos que aceleração $ a $ é a segunda derivada da posição $ x $ em relação ao tempo:
-4x = 1,91 cdot a
Então, podemos escrever:
a

Passo 4

Para simplificar, vamos reorganizar a equação:
d^2xdt^2 = -41,91x
Isso nos dá uma equação diferencial:
d^2xdt^2 + ( 41,91 ) x = 0
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que caracteriza um movimento harmônico simples, onde a solução geral é uma combinação de funções seno e cosseno.

Passo 5

A solução geral para a posição $ x(t) $ em um movimento harmônico simples é:
x(t)
Onde:
  • $ A $ e $ B $ são constantes que determinamos com as condições iniciais.
  • $ \omega $ é a frequência angular, definida por:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)

Passo 6

Agora, precisamos usar as condições iniciais para encontrar $ A $ e $ B $. Sabemos que quando $ x = 3,95 $ metros, a velocidade $ v = 9,13 $ m/s.
Primeiro, expressamos a velocidade como a primeira derivada de $ x(t) $:
A
No instante inicial, vamos considerar $ t = 0 $:
B
x = 3,95

Passo 7

Agora que temos $ A $ e $ B $, nossa equação para $ x(t) $ fica:
A
Queremos encontrar a posição $ x_3 $ quando a velocidade é $ v_3 = 1,72 $ m/s. Vamos usar a expressão da velocidade:
B
Simplificando:
x(t)

Passo 8

Para resolver essa equação, podemos usar a identidade trigonométrica que combina seno e cosseno em uma única função:
R sin(omega t + phi) = -5,7275 sin(1,45 t) + 9,135 cos(1,45 t)
Onde:
R = raiz(-5,7275)^2 + (9,135)^2 approx raiz32,78 + 83,44 approx raiz116,22 approx 10,78
phi = arctan(9,135-5,7275) approx arctan(-1,596) approx -57^circ
Então, a equação da velocidade fica:
10,78 sin(1,45 t - 57^circ) = 1,72

Passo 9

Isolando a função seno:
sin(1,45 t - 57^circ) = 1,7210,78 approx 0,1595
Agora, calculamos o ângulo cujo seno é 0,1595:
1,45 t - 57^circ = arcsin(0,1595) approx 9,22^circ
Então:
1,45 t = 9,22^circ + 57^circ = 66,22^circ
Convertendo para radianos (já que trabalhamos com rad/s):
66,22^circ approx 1,154 , rad
Agora, resolvemos para $ t $:
t

Passo 10

Agora que temos o tempo quando a velocidade é 1,72 m/s, podemos encontrar a posição $ x_3 $ substituindo $ t $ na equação de $ x(t) $:
x3
Calculando os argumentos:
t
Então:
x(t)
Calculando os valores trigonométricos:
x(t) = 3,95 cos(1,45 cdot 0,796) + 6,30 sin(1,45 cdot 0,796)
1,45 cdot 0,796 approx 1,154 , rad
Portanto:
x3 = 3,95 cos(1,154) + 6,30 sin(1,154)

Resposta

A posição do bloco quando a velocidade for de 1,72 m/s é aproximadamente 7,36 metros.

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