Qual o único espaço vetorial que possui um único elemento? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta qual é o único espaço vetorial que contém exatamente um elemento. Lembrando que, por definição, um espaço vetorial
sobre um corpo
é um conjunto munido de duas operações — soma de vetores e multiplicação por escalar — que satisfazem vários axiomas, dentre eles:
- existe um elemento neutro aditivo (vetor nulo), chamado
, tal que para todo vale ; - todo vetor
tem um inverso aditivo único em ; - existem leis de associatividade, comutatividade da soma, distributividade da multiplicação sobre vetores e sobre escalares, etc.
Passo 2
Suponha que
seja um espaço vetorial e que
, ou seja,
para algum
. Pelo axioma da existência do elemento neutro aditivo, existe em
um vetor
tal que para todo
vale
. Mas como
só tem o elemento
, necessariamente
. Logo
Isso mostra que, se um espaço vetorial tem apenas um elemento, esse elemento é o vetor nulo e o conjunto é
.
Passo 3
Agora verificamos que
com as operações naturais é de fato um espaço vetorial sobre qualquer corpo
:
o inverso aditivo de
é ele mesmo,
e as demais propriedades (associatividade, comutatividade, distributividade, identidade escalar
) são triviais porque todos os vetores envolvidos são
. Portanto todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos por
.
Resposta
O único espaço vetorial que possui um único elemento é o espaço trivial
.