Qual o único espaço vetorial que possui um único elemento? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o único espaço vetorial que contém exatamente um elemento. Lembrando que, por definição, um espaço vetorial V sobre um corpo Bbb K é um conjunto munido de duas operações — soma de vetores e multiplicação por escalar — que satisfazem vários axiomas, dentre eles:
  1. existe um elemento neutro aditivo (vetor nulo), chamado 0, tal que para todo vin V vale v+0=v;
  2. todo vetor vin V tem um inverso aditivo único -v em V;
  3. existem leis de associatividade, comutatividade da soma, distributividade da multiplicação sobre vetores e sobre escalares, etc.

Passo 2

Suponha que V seja um espaço vetorial e que #V=1, ou seja, V=v para algum v. Pelo axioma da existência do elemento neutro aditivo, existe em V um vetor 0 tal que para todo win V vale w+0=w. Mas como V só tem o elemento v, necessariamente 0=v. Logo
V=v=0
Isso mostra que, se um espaço vetorial tem apenas um elemento, esse elemento é o vetor nulo e o conjunto é 0.

Passo 3

Agora verificamos que 0 com as operações naturais é de fato um espaço vetorial sobre qualquer corpo Bbb K:
0+0=0,
o inverso aditivo de 0 é ele mesmo,
lambdacdot 0=0para todo lambdainBbb K,
e as demais propriedades (associatividade, comutatividade, distributividade, identidade escalar 1cdot0=0) são triviais porque todos os vetores envolvidos são 0. Portanto todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos por 0.

Resposta

O único espaço vetorial que possui um único elemento é o espaço trivial 0.

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