Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e variância
(isto é,
, calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
c. Entre 49 kg e 51 kg .
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
c. Entre 49 kg e 51 kg .
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma fábrica que enche sacos de ração, onde a média esperada é de 50 kg por saco. Mas, claro, nem todos os sacos vão ter exatamente 50 kg, alguns vão ficar um pouco mais cheios e outros um pouco menos. Isso acontece por causa de várias coisas aleatórias no processo de ensacamento. A gente sabe que essa variação segue uma distribuição normal com média
e variância
. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de, ao pegar um saco aleatoriamente, ele ter entre 49 kg e 51 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a gente lida com distribuições normais, é útil transformar os valores que queremos em valores padronizados, chamados de escores z. Isso facilita o uso das tabelas de distribuição normal para encontrar probabilidades.
A fórmula para calcular o escore z é:
Onde:
-
é o valor que estamos considerando (no caso, 49 kg e 51 kg), -
é a média da distribuição, -
é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão primeiro. Sabemos que a variância
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o escore z para 49 kg:
E para 51 kg:
Passo 5
Com esses escores z, queremos encontrar a probabilidade de z estar entre -2 e 2 na tabela da distribuição normal padrão. Isso representa a área sob a curva entre esses dois valores.
Sabemos que a probabilidade total sob a curva normal é 1, e que a distribuição é simétrica em torno de 0.
Passo 6
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que a área entre z = -2 e z = 2 é aproximadamente 0,9545. Isso significa que há cerca de 95,45% de chance de um saco selecionado aleatoriamente ter entre 49 kg e 51 kg.
Resposta
A probabilidade de um saco selecionado aleatoriamente conter entre 49 kg e 51 kg é aproximadamente 95,45%.