Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
c. Entre 49 kg e 51 kg .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma fábrica que enche sacos de ração, onde a média esperada é de 50 kg por saco. Mas, claro, nem todos os sacos vão ter exatamente 50 kg, alguns vão ficar um pouco mais cheios e outros um pouco menos. Isso acontece por causa de várias coisas aleatórias no processo de ensacamento. A gente sabe que essa variação segue uma distribuição normal com média mu = 50 kg e variância sigma^2 = 0,25 kg^2. Nosso objetivo aqui é descobrir a probabilidade de, ao pegar um saco aleatoriamente, ele ter entre 49 kg e 51 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a gente lida com distribuições normais, é útil transformar os valores que queremos em valores padronizados, chamados de escores z. Isso facilita o uso das tabelas de distribuição normal para encontrar probabilidades.
A fórmula para calcular o escore z é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que estamos considerando (no caso, 49 kg e 51 kg),
  • mu é a média da distribuição,
  • sigma é o desvio padrão (a raiz quadrada da variância).

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão primeiro. Sabemos que a variância sigma^2 = 0,25 kg^2, então:
sigma = raiz0,25 = 0,5 kg

Passo 4

Agora, vamos calcular o escore z para 49 kg:
z49 = 49 - 500,5 = -10,5 = -2
E para 51 kg:
z51 = 51 - 500,5 = 10,5 = 2

Passo 5

Com esses escores z, queremos encontrar a probabilidade de z estar entre -2 e 2 na tabela da distribuição normal padrão. Isso representa a área sob a curva entre esses dois valores.
Sabemos que a probabilidade total sob a curva normal é 1, e que a distribuição é simétrica em torno de 0.

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos que a área entre z = -2 e z = 2 é aproximadamente 0,9545. Isso significa que há cerca de 95,45% de chance de um saco selecionado aleatoriamente ter entre 49 kg e 51 kg.

Resposta

A probabilidade de um saco selecionado aleatoriamente conter entre 49 kg e 51 kg é aproximadamente 95,45%.

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