Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
b. Entre 49,5 kg e 50 kg .

Passo 1

Então, temos um exercício sobre distribuição normal na área de estatística. A gente quer descobrir qual a probabilidade de um saco de ração, escolhido aleatoriamente, pesar entre 49,5 kg e 50 kg. Sabemos que a média é 50 kg e a variância é 0,25 kg². Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a variância ( sigma^2) é 0,25 kg², então o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada disso:
sigma = raiz0,25 = 0,5 , kg

Passo 3

Agora, queremos achar a probabilidade de X estar entre 49,5 kg e 50 kg, ou seja, P(49,5 <= X <= 50). Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula da transformação para a distribuição normal padrão:
Z = X - musigma
onde mu = 50 kg.

Passo 4

Vamos calcular os valores de Z para 49,5 kg e 50 kg:
Para 49,5 kg:
Z1 = 49,5 - 500,5 = -0,50,5 = -1
Para 50 kg:
Z2 = 50 - 500,5 = 00,5 = 0

Passo 5

Então, precisamos encontrar P(-1 <= Z <= 0). Sabemos que, na distribuição normal padrão, a probabilidade de Z <= 0 é 0,5.

Passo 6

Também sabemos que a probabilidade de Z <= -1 é igual a 1 - P(Z <= 1). Consultando a tabela da distribuição normal, temos:
P(Z <= 1) approx 0,8413
Então,
P(Z <= -1) = 1 - 0,8413 = 0,1587

Passo 7

Agora, a probabilidade que queremos é a diferença entre P(Z <= 0) e P(Z <= -1):
P(-1 <= Z <= 0) = P(Z <= 0) - P(Z <= -1) = 0,5 - 0,1587 = 0,3413

Resposta

A probabilidade de um saco conter entre 49,5 kg e 50 kg é de aproximadamente 34,13%.

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