Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
f. Entre 50,5 kg e 51,5 kg.

Passo 1

Então, a gente tem uma fábrica que enche sacos de ração com, em média, 50 kg. Mas, claro, nem sempre sai exatamente 50 kg em cada saco, né? Alguns ficam um pouco mais pesados, outros um pouco mais leves. Isso acontece por causa de vários fatores que fazem variar o peso dos sacos. A gente sabe que essa variação segue uma distribuição normal, que é tipo aquelas curvas que têm o formato de sino. Aqui, a média ( mu) é 50 kg e a variância ( sigma^2) é 0,25 kg². O que a gente quer descobrir é a probabilidade de um saco, escolhido aleatoriamente, pesar entre 50,5 kg e 51,5 kg.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma distribuição normal é definida por dois parâmetros: a média ( mu) e o desvio padrão ( sigma), que é a raiz quadrada da variância. Aqui, mu = 50 kg e sigma = raiz0,25 = 0,5 kg. Para encontrar a probabilidade de um saco pesar entre 50,5 kg e 51,5 kg, vamos transformar esses valores em valores padronizados da distribuição normal padrão, que tem média 0 e desvio padrão 1.

Passo 3

A fórmula para padronizar um valor X é:
z = X - musigma
Vamos calcular o z para 50,5 kg e para 51,5 kg.
Para 50,5 kg:
z1 = 50,5 - 500,5 = 0,50,5 = 1
Para 51,5 kg:
z2 = 51,5 - 500,5 = 1,50,5 = 3

Passo 4

Agora, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar as probabilidades correspondentes a esses valores de z.
  • A probabilidade de Z < 1 é aproximadamente 0,8413.
  • A probabilidade de Z < 3 é aproximadamente 0,9987.
Para achar a probabilidade de Z estar entre 1 e 3, subtraímos as duas:
P(1 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < 1) = 0,9987 - 0,8413 = 0,1574

Resposta

A probabilidade de que um saco contenha entre 50,5 kg e 51,5 kg é de aproximadamente 15,74%.

Exercícios relacionados