Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
g. Entre 48,5 kg e 49,5 kg.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente quer encontrar a probabilidade de que um saco de ração, escolhido aleatoriamente, tenha entre 48,5 kg e 49,5 kg. Estamos trabalhando com distribuição normal, onde a média ( mu) é 50 kg e a variância ( sigma^2) é 0,25 kg². Para resolver isso, vamos precisar entender como usar a distribuição normal para calcular probabilidades em intervalos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os parâmetros da distribuição normal que temos. A média ( mu) é 50 kg, o que significa que, em média, os sacos têm esse peso. A variância ( sigma^2) é 0,25 kg², então o desvio padrão ( sigma) é a raiz quadrada da variância:
sigma = raiz0,25 = 0,5 , kg

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de um saco ter entre 48,5 kg e 49,5 kg. Para isso, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
z = X - musigma
Onde X é o valor que queremos padronizar.

Passo 4

Vamos calcular o z para 48,5 kg:
z1 = 48,5 - 500,5 = -1,50,5 = -3
E para 49,5 kg:
z2 = 49,5 - 500,5 = -0,50,5 = -1

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores de z na tabela da distribuição normal padrão. A probabilidade de Z ser menor que z é dada pela função de distribuição acumulada (CDF).
Vamos encontrar:
P(Z < -1) e P(Z < -3)

Passo 6

Consultando a tabela da distribuição normal padrão:
  • P(Z < -1) approx 0,1587
  • P(Z < -3) approx 0,0013

Passo 7

A probabilidade de Z estar entre -3 e -1 é:
P(-3 < Z < -1) = P(Z < -1) - P(Z < -3)
Substituindo os valores:
P(-3 < Z < -1) = 0,1587 - 0,0013 = 0,1574

Resposta

A probabilidade de um saco selecionado aleatoriamente conter entre 48,5 kg e 49,5 kg é de aproximadamente 15,74%.

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