Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com mu=50 kg e variância sigma^2=0,25 kg^2 (isto é, X sim N(50 ; 0,25), calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
e. Abaixo de 48,75 kg.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a probabilidade de que um saco de ração, escolhido aleatoriamente, pese menos de 48,75 kg. Sabemos que o peso dos sacos segue uma distribuição normal com média μ = 50 kg e variância σ² = 0,25 kg². Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e calcular a probabilidade correspondente.

Passo 2

Primeiro, precisamos padronizar o valor de 48,75 kg para encontrarmos o valor z na distribuição normal padrão. A padronização é feita usando a fórmula:
z = X - musigma
onde:
  • $ X $ é o valor que queremos avaliar (48,75 kg),
  • $ \mu $ é a média da distribuição (50 kg),
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da distribuição.

Passo 3

Vamos calcular o desvio padrão ($ \sigma $). Sabemos que a variância $ \sigma² = 0,25 , kg² $, então:
sigma

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula do $ z $:
z

Passo 5

Com o valor de $ z = -2,5 $, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor na distribuição normal padrão. Isso representa a área sob a curva normal à esquerda de $ z = -2,5 $.

Passo 6

Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade para $ z = -2,5 $ é aproximadamente 0,0062, ou seja, 0,62%.

Resposta

A probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente contenha menos de 48,75 kg é de aproximadamente 0,62%.

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