Em uma unidade de ensacamento de uma fábrica de ração é pressuposto encher os sacos com um peso médio igual a 50 kg . É óbvio que nem todos os sacos ficam exatamente com a quantidade de 50 kg , havendo alguns que ficam com mais, outros que ficam com menos ração, devido a diversos fatores aleatórios que ocasionam variabilidade no processo.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e variância
(isto é,
, calcule a probabilidade de que um saco, selecionado aleatoriamente, contenha:
e. Abaixo de
.
Admitindo que o processo de ensacamento segue distribuição normal com
e. Abaixo de
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos descobrir a probabilidade de que um saco de ração, escolhido aleatoriamente, pese menos de 48,75 kg. Sabemos que o peso dos sacos segue uma distribuição normal com média μ = 50 kg e variância σ² = 0,25 kg². Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e calcular a probabilidade correspondente.
Passo 2
Primeiro, precisamos padronizar o valor de 48,75 kg para encontrarmos o valor z na distribuição normal padrão. A padronização é feita usando a fórmula:
onde:
- $ X $ é o valor que queremos avaliar (48,75 kg),
- $ \mu $ é a média da distribuição (50 kg),
- $ \sigma $ é o desvio padrão da distribuição.
Passo 3
Vamos calcular o desvio padrão ($ \sigma $). Sabemos que a variância $ \sigma² = 0,25 , kg² $, então:
Passo 4
Agora, substituímos os valores na fórmula do $ z $:
Passo 5
Com o valor de $ z = -2,5 $, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor na distribuição normal padrão. Isso representa a área sob a curva normal à esquerda de $ z = -2,5 $.
Passo 6
Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que a probabilidade para $ z = -2,5 $ é aproximadamente 0,0062, ou seja, 0,62%.
Resposta
A probabilidade de que um saco selecionado aleatoriamente contenha menos de 48,75 kg é de aproximadamente 0,62%.