O valor de h para que o sistema
l 2 x-y+3 z=0 x+2 y-z=0 x+h y-6 z=0
tenha a solução não nula é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: x, y e z. A pergunta é: qual o valor de h que faz com que esse sistema tenha uma solução diferente de zero (ou seja, não trivial)? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre sistemas lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz. Uma forma de resolver esse tipo de problema é usando o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, mas como queremos uma solução não nula, isso indica que o determinante deve ser zero.

Passo 3

Vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 2 & -1 & 3 1 & 2 & -1 1 & h & -6

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado assim:
det(A) = 2 cdot (2 cdot (-6) - (-1) cdot h) - (-1) cdot (1 cdot (-6) - (-1) cdot 1) + 3 cdot (1 cdot h - 2 cdot 1)
Simplificando cada parte:
2 cdot (-12 + h) + 1 cdot (-6 + 1) + 3 cdot (h - 2)
= 2(-12 + h) + (-5) + 3(h - 2)
= -24 + 2h - 5 + 3h - 6
= 5h - 35

Passo 5

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar o valor de h:
5h - 35 = 0
Resolvendo para h:
5h = 35 h = 7

Resposta

O valor de h que faz o sistema ter uma solução não nula é h = 7.

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