. (Valor 15.0 pts cada item) Resolva as equações diferenciais a seguir.
y^prime prime prime-4 y^prime prime+14 y^prime-20 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y''' - 4y'' + 14y' - 20y = 0 . O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que geralmente envolve achar as raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos construir a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos cada derivada por potências de r :
r^3 - 4r^2 + 14r - 20 = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar uma raiz real usando o método de tentativa. Testando r = 2 :
2^3 - 4(2)^2 + 14(2) - 20 = 8 - 16 + 28 - 20 = 0
Então, r = 2 é uma raiz.

Passo 4

Agora que sabemos que r = 2 é uma raiz, podemos fazer a divisão polinomial para fatorar a equação característica. Dividindo r^3 - 4r^2 + 14r - 20 por (r - 2) , obtemos:
(r - 2)(r^2 - 2r + 10) = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática r^2 - 2r + 10 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot 102 cdot 1 = 2 pm raiz4 - 402 = 2 pm raiz-362 = 2 pm 6i2 = 1 pm 3i
Então, as raízes são complexas r = 1 + 3i e r = 1 - 3i .

Passo 6

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz contribui para a solução:
  • A raiz real r = 2 dá uma solução da forma e^2x .
  • As raízes complexas 1 pm 3i dão uma solução da forma e^x(C1 cos(3x) + C2 sin(3x)) .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + e^x ( C2 cos(3x) + C3 sin(3x) )
onde C1 , C2 e C3 são constantes arbitrárias.

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