. (Valor 15.0 pts cada item) Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares de ordem superior. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral dessa equação, que geralmente envolve achar as raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos construir a equação característica associada à equação diferencial. Substituímos cada derivada por potências de
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar encontrar uma raiz real usando o método de tentativa. Testando
:
Então,
é uma raiz.
Passo 4
Agora que sabemos que
é uma raiz, podemos fazer a divisão polinomial para fatorar a equação característica. Dividindo
por
, obtemos:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas
e
.
Passo 6
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Cada raiz contribui para a solução:
- A raiz real
dá uma solução da forma . - As raízes complexas
dão uma solução da forma .
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
,
e
são constantes arbitrárias.